§ 103. Сдвиги, опасные точки и условия прочности для криволинейных квадратов четвертой степени

Сдвиги для кривых четвертой степени а (формулы (227), (228) при восстановлении однородности § 93) таковы:

Отсюда для главного сдвига

При одинаковом значении угла а, или на той же прямой,

проходящей через центр, сдвиг тем больше, чем больше так как корень представляет собой третью сторону треугольника, две другие стороны которого, образующие угол

соответственно равны — и увеличиваются вместе с Следовательно, наибольший сдвиг находится на контуре сечения.

Так как на контуре имеем:

то после исключения а выражение (233) превращается в

И так как - и никогда не превышают 1 (§§ 94, 95), то величина всегда положительна, так что на контуре тем больше, чем меньше

Следовательно, опасными точками, как в эллипсе и прямоугольнике, являются точки контура, наиболее близкие к оси кручения, т. е. концы малых диаметров, составляющих углы 45° с осями у или

Так как мы всегда обозначали эти малые диаметры через , то, подставляя и 45° вместо в выражение (233) для получим для наибольшего главного сдвига

Наименьший главный сдвиг, соответствующий будет

Если (квадрат с закругленными углами), то получаем (см. § 95) для наименьшего радиуса-вектора или полудиаметра

откуда для наибольшего сдвига на концах малых диаметров

(или 1,400 от того, что имели бы в этих точках, если сечение оставалось бы плоским), а для наименьшего сдвига на концах больших диаметров

Если (квадрат с вогнутыми сторонами и острыми углами), то получаем (см. § 95) для наименьшего радиуса-вектора

Подставляя в (234), находим для наибольшего сдвига

и нуль для наименьшего, так как в выступающих углах мы обычно видели, что (см. § 68 и ниже последний параграф гл. XI) ребра, став винтообразными, остаются нормальными к сечениям, которые искривляются.

Следовательно, условиями прочности для квадрата с закругленными углами (если исключить из выражений

которые мы нашли в § 101) являются

для криволинейного квадрата с острыми углами

Так как для круга (см. § 63, формулу имеем:

то, подставляя в два предыдущих выражения вместо их значения через функции получаем для квадрата с закругленными углами

для квадрата с острыми углами

Отсюда видим, что призмы с основаниями подобного вида дают только 0,7064 и 0,6812 того сопротивления разрушению при кручении, которое они имели бы, если при той же величине т. е. при том же объеме материала, они имели бы круговые основания.

Для призмы с основанием в виде обыкновенного квадрата это отношение равно 0,7379 (см. примечание § 83).