§ 9. Упрощение формул для составляющих давления в случае тел с различным строением

Если тело является однородным, то коэффициенты а в формулах (4) одинаковы во всех его точках в одинаковых направлениях осей координат, но могут изменяться вместе с направлениями осей.

Если по обе стороны плоскости, которую можно назвать плоскостью симметрии строения или, по Коши, главной плоскостью упругости, давления находятся в одинаковых соотношениях с перемещениями или могут быть выражены через величины формулами с теми же коэффициентами, то формулы (4) должны оставаться такими же, когда мы заменяем ось х на ее продолжение в противоположную сторону, а за плоскость берем плоскость

Итак, когда оси у и z остаются прежними, а не изменяются, нетрудно видеть, что то же самое происходит с и эх, тогда как принимают противоположный знак, сохраняя ту же величину. Чтобы уравнения (4) оставались неизменными при подобной перемене знака, необходимо, чтобы не входили в уравнения, дающие и чтобы не входили в уравнения, дающие

Отсюда следует, что при наличии в каждой точке однородного тела плоскости симметрии, перпендикулярной к оси х, получаем выражения следующего вида. Мы обозначили посредством тех же букв коэффициенты, число которых в соответствии со сказанным должно равняться пятнадцати, а не тридцати шести (4), так что штрихи будут уничтожены, если мы не берем под сомнение этот принцип:

Если, кроме того, имеется плоскость симметрии, перпендикулярная к оси у, то эти уравнения должны будут оставаться прежними при одинаковом изменении знаков у величин В результате наши формулы примут вид

откуда вытекает, что плоскость, перпендикулярная к будет, следовательно, тем самым плоскостью симметрии или главной плоскостью упругости, так что получим три главные плоскости, пересекающиеся параллельно осям х, у, z.

Кроме того, при одинаковых свойствах вокруг параллели к оси х, называемой в таком случае осью упругости,

получаем

Эту последнюю зависимость доказывают, взяв без изменения ось х и две новые оси у, z, составляющие с прежними осями угол в плоскости и полагая еще В самом деле, если мы считаем для упрощения, что точка в которой пересекаются эти оси, остается неподвижной, и что перемещения других точек производят только общее удлинение т. е. что

то, учитывая давления, испытываемые малой гранью А, перпендикулярной к оси у, и ее двумя проекциями на плоскости, перпендикулярные к осям у и z, и приравнивая первое сумме двух других, после разложения всех трех давлений по z (или используя общую формулу преобразования (5) § 8 для получаем:

Если рассуждать подобно тому, как это было сделано в § 8 для нахождения и рассмотреть общую формулу то отсюда также следует:

откуда для получения необходимо иметь

т. е. последнюю из зависимостей (9).

Когда х является осью упругости, получаем:

Необходимые зависимости (9), которые мы только что установили между коэффициентами, являются достаточными, чтобы все осталось одинаковым относительно оси х.

В самом деле, эта одинаковость не мешает коэффициенту при отличаться от коэффициентов при сдвигах Рхуу равно коэффициенту при отличаться от коэффициентов при в и при в так что она не может требовать никакого другого равенства между коэффициентами, обозначенными различными буквами.

Применяя общие формулы преобразования можно убедиться, что различные составляющие выражены через с помощью тех же коэффициентов, что и составляющие через эх, Это именно и является отличительным признаком одинаковой упругости по всем направлениям, составляющим одинаковый угол с осью х.

Если имеется также ось упругости, параллельная оси у, то надлежало бы по тем же соображениям иметь

откуда следует, что имеется третья ось упругости, параллельная Даже произвольные прямые, проведенные в плоскостях т. е. все возможные прямые, проведенные через точку являются также осями упругости (по причине равенства коэффициентов, кроме вышеуказанных, когда берут две новые оси . Тело в таком случае называется изотропным, т. е. обладающим одинаковой упругостью во всех направлениях.

Число коэффициентов сводится к двум и даже к одному, если (§ 7) не оспаривают равенства коэффициента при коэффициенту при

Но эксперименты Савара и простое рассмотрение характера охлаждения и отвердевания тел доказывают, что изотропия, как думает Реньо, является весьма редкой даже в литых металлах, в стекловатых и зернистых материалах. Таким образом, следует предположить неравномерность строения в различных направлениях; поэтому расхождения, которые можно найти между результатами экспериментов и формулами для изотропного тела с нисколько не противоречат принципу (§ 7) как для тел с равномерным, так и для тел с неравномерным строением,