§ 17. Распределение сил. Обстоятельства, сопровождающие неравномерный изгиб. Наклон и кривизна сечений. Взаимный наклон волокон. Полная стрела прогиба

Прежде чем произвести в некоторых случаях интегрирование (46) для определения желательно дать несколько выражений, содержащих эти две величины, которые мы будем использовать в различных примерах.

Во-первых, распределение внутренних сил по какому-либо сечению или внешних сил по основаниям или крайним сечениям дается формулами:

Во-вторых, наклон оси призмы к сечениям со в плоскости при ее искривлении имеет значение (§ 5) при Итак, в соответствии с (49) и (47) является постоянной величиной, так что этот наклон одинаков во всех сечениях.

В-третьих, уравнение искривленной поверхности сечений или поверхности, в которую превращается плоскость сечения расположенного первоначально на расстоянии х от начала координат, получится, очевидно, следующим образом. Пусть являются координатами одной из точек искривленной поверхности. Тогда, заменяя в трех следующих уравнениях их значениями (45)

и исключая у и , получаем искомое уравнение.

Ему можно придать простую форму. В самом деле, центральная точка этой поверхности, соответствующая будет иметь координаты

Переместим начало координат и возьмем новые прямоугольные координаты и, из которых вторая у параллельна у, а первая и параллельна касательной к изогнутой оси призмы в этом месте, так что и определяет расстояние от какой-либо точки сечения до нормальной плоскости проведенной к этой оси через центральную точку; поскольку третье из только что написанных выражений дает после дифференцирования выражение для малого угла их оси и с осью х или то, полагая в формуле преобразования их, где можно заменить единицей, от которой он отличается только на величину второго порядка, получим:

Пренебрегая, как всегда, очень малыми величинами второго порядка, мы можем подставить у, z вместо у, z и вывести общее уравнение искривленной поверхности сечения

Так как это уравнение не содержит х, то видно, что все сечения при изгибе получают одинаковую кривизну, как и одинаковый наклон к оси призмы.

И это происходит, как мы сказали в § 2, потому, что различные волокна растягиваются именно так, как будто бы сечения оставались плоскими и нормальными к оси.

Следовательно, можно заметить, что у изогнутых волокон в месте их пересечения одним сечением не все касательные параллельны. Произвольное волокно составляет с центральным волокном малый угол. Будучи спроектирован на плоскостях этот угол превышает на и его значения при т. е. принимая во внимание формулу

вытекающую из (36) и (37), получим:

и

Эти очень малые взаимные наклоны волокон зависят, как мы видим, от способности к изменению вдоль х их поперечных сжатий следовательно, от изменения кривизны От последней величины зависит продольное удлинение с которым связаны множителями

Этим объясняется различие между и наклонами волокон к сечениям.

Наконец, можно найти значение (45) для — при называемое стрелой прогиба или поперечным перемещением оси призмы в точке Эта точка обычно является свободным концом призмы, где приложена сила Обозначая стрелу прогиба через получим:

Так как величина отрицательная, стрела прогиба несколько больше той, которую дает обычно применяемая формула

Найдем теперь для различных форм контура.