§ 16. Первое интегрирование

Первое интегрирование уравнений (29)

при учете условий (31), дающих для нулевые значения в начале координат и для нулевые значения повсюду на оси, и уравнения (35) легко дает при

подстановке вместо согласно (37) его значения выражения:

Здесь постоянная (которая представляет сдвиг в начале координат), функция, которая должна быть такой, чтобы

во всех точках контура сечения.

В самом деле, значение и дается непосредственно интегрированием Интегрирования уравнений / что при подстановке в последнее уравнение приводит к уравнению не может быть удовлетворено, если зависит только от х, без того, чтобы обе части уравнения не являлись одной и той же постоянной или функцией только х. Обозначая последнюю функцию через X и снова интегрируя, получаем

Далее, Выполняя условия при видим, что величина X равна нулю, так же как и постоянная, что приводит к выражению (39) для

Что касается то, так как равно нулю, получаем поэтому при уравнение дает - откуда где следовательно, получаем также значение (39) для

Что же касается условий, которым мы подчиняем функцию то условия (40) вытекают из условий

0, относящихся к началу координат. Условия (41) и (42), или неопределенные и определенные дифференциальные уравнения, вытекают из подстановки в уравнения выражений причем в соответствии с выражениями имеем

Полное решение поставленного вопроса с целью определения величины и направления всех перемещений и всех сил после установления соответствия принятых условий сводится, таким образом, к нахождению посредством интегрирования уравнения в частных производных второго порядка (41) функции зависящей от у, z, и значения постоянной которые удовлетворяли бы условиям (40) и (42) для различных форм контуров сечений.

Можно уже судить (см. далее § 30), что это решение неизменно существует, так что принятые нами предположения совместимы, и что имеются, следовательно, всегда способы

распределения внешних сил на крайних основаниях, для которых изгиб совершается в вышеуказанных условиях.

Но следует дать несколько примеров полного определения перемещений и оценки различных обстоятельств изгиба, некоторые из которых опускаются обычной теорией и должны быть приняты во внимание при ее использовании.

Мы ограничимся для этого случаем, когда строение материала имеет плоскости симметрии, перпендикулярные к осям у и 2, помимо плоскостей симметрии, перпендикулярных к оси х. В таком случае

Чтобы сделать выражения более простыми или более симметричными, вводим обозначения:

так что являются коэффициентами упругости при сдвиге в направлениях осей у и 2. Получаем:

где - постоянная величина и функция, которые должны удовлетворять уравнению

и условиям