§ 15. Первые следствия заданных условий и соотношений

Второе и третье неопределенные уравнения (32) при учете выражений (7) для приводят или (формула (13)) к

При подстановке вместо его значения где момент зависит только от х, вместо (34) имеем:

Уже из выражения видно, что волокна после изгиба не имеют никакой кривизны в направлении оси у, т. е. проектируются на плоскость в виде прямых линий, и, таким образом, все они являются плоскими кривыми. уравнения видно, что их проекции на плоскость изгиба оси имеют почти одинаковую кривизну в точках, принадлежащих к тому же сечению так как — является приблизительно, как уже сказано, обратной величиной радиуса кривизны волокон.

Итак, обозначив этот радиус через имеем:

так что формулы обычной теории (1) и (2) составляют следствие принятых нами условий и правильны, когда последние выполняются.

Но первое уравнение равновесия показывает, что когда момент или кривизна у являются переменными, то составляющие давления следовательно, сдвиги не могут сразу равняться нулю. Отсюда действительно следует (§ 2), что сечения наклоняются к волокнам.

Те же уравнения показывают, что, дифференцируя дважды по х уравнения получить нуль в правых частях уравнения, откуда

Таким образом, из наших допущений или принятых условий также следует, что момент внешних сил может изменяться только линейно с координатой х, от которой он зависит, т. е. можно утверждать, так как мы назвали заданное значение при что

и постоянная а представляет собой абсциссу точки (которая может находиться на продолжении призмы), для которой этот переменный момент равен нулю.

Величина является равнодействующей в направлении z внешних сил, которые создают изгиб, а также (для равновесия относительно поступательного смещения в боковом направлении) касательных давлений по сечениям Таким образом, получаем:

Частный случай равномерного изгиба, т. е. изгиба по дуге окружности, соответствует нулевому значению для и бесконечному значению а, при этом их произведение должно быть конечной величиной, равной моменту В этом случае момент постоянен от одного конца призмы до другого, поэтому х в формуле (37) надо отбросить, и силы, таким образом, сводятся к паре, а радиус кривизны (выражение (36)) также постоянен.