§ 12. Зависимость составляющих давления от удлинений и сдвигов

Рассмотрим упругое тело в состоянии, принимаемом за первоначальное, когда никакое давление еще не действует на его поверхности и никакая внешняя объемная сила (например, сила тяжести) не воздействует на его точки, испытывающие только притяжения и отталкивания, с которыми они действуют друг на друга на незначительных расстояниях. Разделяя тело на элементы каким-либо способом (см. § 20) и рассматривая эти элементы последовательно, начиная с поверхности, легко видеть, что равновесие каждого элемента требует, чтобы эти внутренние силы взаимно уничтожались по граням раздела, так что в этом состоянии давления всюду равны нулю; подобное состояние рассматривается как первоначальное и называется иногда естественным состоянием тела.

Как только к телу прикладываются внешние силы, его точки перемещаются, изменяется взаимодействие между ними и возникают давления.

Эти новые взаимодействия пар молекул или материальных точек зависят от относительных индивидуальных перемещений; но давления, которые являются равнодействующими весьма значительного числа сил взаимодействия между точками одной и той же малой части тела, должны зависеть единственно от средних конечных перемещений (§ 3), которые только и будут учитываться.

Итак, давления, которые проявляются на различных гранях с центром в данной точке обязательно являются

функциями трех относительных удлинений и трех сдвигов имеющих место в той же точке в направлениях трех взаимно-перпендикулярных, произвольно выбранных осей х, у, z. Действительно, эти шесть величин представляют собой удлинения всех прямых, первоначально параллельных осям х, у, z в окрестности точки и углы наклонения этих осей по отношению друг к другу. Они дают все необходимое для определения новых относительных положений соседних точек, первоначальное положение которых было задано. Эти шесть величин способны выражать воздействия через малые грани, имеющие центр в точке Это видно впрочем из выражений (5) для в § 6.

В неизвестные функции, определяющие давления через удлинения и сдвиги, величины обязательно должны входить в одинаковой степени, так как они очень малы и могут бесконечно уменьшаться, сохраняя всегда тот же порядок величины, ту же степень влияния на относительные перемещения и давления (конец § 7). И не должно быть, чтобы из-за неравенства их показателей один член исчезал как ничтожная величина ранее других членов.

Остается узнать, будут ли эти функции линейными или однородными нелинейными. В этом отношении следует обратиться к опыту или выводимому на экспериментальной основе физическому закону (см. примечание на следующей странице), который мог бы нас наставить.

Растягиваем ли мы нить (что производит продольное удлинение, почти одинаковое во всех ее частях) или скручиваем полый цилиндр (что производит сдвиг, почти одинаковый повсюду), опыт свидетельствует, что усилие пропорционально удлинению в первом случае и сдвигу во втором, пока эти величины остаются очень малыми. Таким образом, удлинения и сдвиги входят в первых степенях, что не создает никаких математических затруднений.

Именно в этом состоит знаменитый закон ut tensio sic vis, предложенный Гуком (Hooke) и примененный Мариоттом (Mariotte) почти два века назад.

Итак, допустим вместе со всеми, что давления являются линейными функциями удлинений и сдвигов, пока эти величины очень малы. Тогда имеем (причем коэффициенты не зависят от удлинений и сдвигов):

а для выражения того же вида с другими коэффициентами А.