§ 3. Предмет и краткое содержание этого мемуара
Итак, мы намерены внимательно исследовать посредством точного анализа, могут ли быть правильными две основные формулы (1) известной теории изгиба (несмотря на сказанное об ошибках при их обычном выводе), если это касается только определенных способов приложения и распределения сил на концах призмы, имеющих любые заданные результирующую и момент и производящих равномерный или неравномерный изгиб от одного конца к другому. Мы намерены в то же время оценить такие обстоятельства, опущенные этой теорией, как относительные сдвиги соседних сечений или смежных волокон и приобретаемую сечениями кривизну. Словом, полностью и точно решить задачу изгиба, по крайней мере для тех воздействий, которые дают простые результаты, служащие пределами сложных результатов при других способах приложения и распределения тех же внешних сил, с тем чтобы мы могли бы приближенно заменить в большинстве случаев сложные результаты простыми.
Для этого мы вначале установили (§§ 4—9) элементарным геометрическим способом (насколько это возможно) формулы для давлений в твердых упругих телах, соотношения, которые, как нам кажется, всегда существуют между коэффициентами формул для давлений (§ 7), влияния изменения
плоскостей (§ 8) и определенные и неопределенные дифференциальные уравнения, связывающие перемещения точек и внешние силы (§§ 10, 11).
Так как трудности, непреодолимые при интегрировании в случае заданных сил, исчезают, когда имеем дело с заданными перемещениями, и значительно уменьшаются, когда принимают заданными одновременно часть сил и часть перемещений или их зависимости, разыскивая остальное, то это приводит к тому смешанному методу, который особенно удобен в изложенном вопросе и который мы применяли в другом месте. Использовав его в случае простого растяжения (§ 12) и вновь напомнив прямое (§ 13), но лишь приближенное решение для случая изгиба, которое было предложено двумя блестящими математиками и послужило исходной точкой для наших исследований, мы устанавливаем принимаемые условия для нашей смешанной задачи (§ 14) и узнаем путем первого и простого интегрирования (§ 16), что ее решение сводится к решению уравнения в частных производных второго порядка при определенном условии, что никакое давление не действует на боковые поверхности призм в продольном направлении.
Второе интегрирование осуществляется до некоторой степени легко, когда контур имеет бесконечное число форм (§ 18), представленных четырехчленным алгебраическим уравнением, один из членов которого может иметь все возможные положительные степени, целые или дробные.
Перемещения точек призмы, удлинения и сдвиги, стрела прогиба при изгибе с учетом указанных факторов, составляющие внутреннего или внешнего давления, определяющие способ распределения изгибающих сил, ординаты слегка искривленных сечений, бывших ранее плоскими, в таком случае (§§ 19—23) представляются целыми алгебраическими выражениями степени не выше третьей.
Мы можем посредством ряда эквидистантных разрезов легко наметить полную топографию этих поверхностей, каждая из которых является общей для множества контуров какой-то одинаковой степени, в числе которых находятся (если эта целая и дробная степень остается в пределах от 2 до 4) окружность или эллипс, которые мы получаем, обращая в нуль коэффициент при члене, делающем степень уравнения контура выше двух.
Упомянутые разрезы сводятся к параллельным прямым, и, следовательно, искривленная поверхность сечения будет цилиндрической с основанием в виде параболического гуська третьей степени, когда (§ 23) уравнение контура имеет девятую степень, представленную как-у. Этот криволинейный контур мало отличается от прямоугольного контура с закругленными углами, если размер, перпендикулярный к плоскости изгиба, не превосходит размера, параллельного ей (§ 18).
Но когда сечение прямоугольное, последнее интегрирование можно произвести более точно посредством трансцендентных рядов с несколькими алгебраическими членами, преобразовав надлежащим образом (§§ 24, 25) два уравнения, на которые распадается определенное условие. Если довольствоваться приблизительной оценкой, то можно отбросить эти ряды. Впрочем, можно составить численные таблицы, сохраняя те же ряды для различных величин отношения двух размеров основания призмы в виде параллелепипеда.
Помимо практического интереса, который представляет оценка того, что не учтено известными формулами изгиба, если мы не довольствуемся только обзором не всегда поддающихся интегрированию уравнений, эти примеры достаточно убедительны, чтобы вместе с аналогией, заимствованной из теории тепла (§ 30), утверждать, что при любой форме контура сечения существует способ распределения внешних
сил на крайних основаниях, для которого эти формулы точно дают напряжения в продольном направлении и возникающую при этом кривизну.
Таким образом, можно продолжать пользоваться этими известными формулами при достаточной длине призм по сравнению с размерами их оснований, чтобы сдвиги оказывали малое влияние, как и установить то, что может произойти от различия между действительным способом приложения и распределения сил на концах призмы и способом, стремящимся установиться внутри в точках, которые удалены от концов; так же как в вопросах, когда переменное состояние зависит от времени, а не от расстояния, это состояние становится все более и более независимым от первоначальных обстоятельств и более приближающимся к постоянному состоянию (§ 32).
Наконец, мы постараемся дать непосредственное, без анализа, и тем не менее строгое доказательство формул изгиба (§ 31).
Оно несколько длиннее того доказательства, которое основывается обычно на неверных и неточных гипотезах, но следует принять во внимание, что оно неизбежно охватывает множество существенных свойств, которые нужно также изучить, а именно поперечные сжатия, которые сопровождают продольные удлинения, и сдвиги, сопровождающие неравномерный изгиб. Следовательно, в курсах, не имеющих в своем составе аналитического изложения теории упругости, можно доказать эти формулы с их дополнениями без нарушения математических канонов, т. е. не смешивая рациональные принципы и необоснованные предположения, которые нельзя доказать даже приблизительно.
