§ 10. Неопределенные дифференциальные уравнения равновесия упругих твердых тел. Выражения удлинений и сдвигов через очень малые перемещения

Условия внутреннего равновесия тела выражаются просто тремя уравнениями покоя для каждого элемента твердого тела с центром в какой-либо точке т(х, если мы заменим воздействия окружающих его элементов давлениями на его гранях (§ 4).

Пусть:

х, у, z - три очень малых измерения этого элемента, считаемого прямоугольным параллелепипедом,

X, Y, Z - составляющие на единицу объема сил, которые могут действовать на материал, таких, как, например, сила тяжести.

Две грани х, у выделенного элемента, перпендикулярные к оси z, испытывают противоположные давления. Составляющие этих давлений, например, в направлении х различны: одна имеет немного большее, а другая немного меньшее значение, чем испытываемое параллельной гранью, проходящей через центр давление (на единицу площади). Их разность будет дифференциальным коэффициентом умноженным на расстояние z между этими гранями, а также на их площадь Таким образом, равнодействующая двух составляющих давления в направлении х будет

Так как можно прийти к тому же выводу для разностей составляющих давлений в том же направлении х, действующих на четырех других гранях элемента, взятых попарно, то для элемента, испытывающего в противоположном оси х направлении действие силы получаем уравнение равновесия, все члены которого можно разделить на объем элемента Отсюда вытекает первое из трех следующих уравнений. Два других получаются таким же образом, если

мы выражаем равновесие по отношению к поступательным смещениям в направлениях осей

Все вышеуказанные формулы применяются в случае любых абсолютных и даже относительных величин перемещений удаленных друг от друга точек тела, если только относительные перемещения очень близких точек остаются весьма малыми или если малые расстояния изменяются только в очень незначительных пропорциях.

Рис. 3

Для вычисления перемещений нужно выразить через перемещения удлинения и сдвиги. Чтобы упростить вычисления, нужно одновременно рассматривать только небольшие части тела, когда можно, следовательно, свести перемещения к очень малым посредством общего поступательного смещения и поворота.

Пусть в таком случае координаты какой-либо точки после перемещений, где х, у, z - первоначальные

координаты, а малые перемещения точки в направлениях осей х, у, z.

Если - две другие точки с первоначальными координатами соответственно и т. е. если две малые прямые, первоначально параллельные осям х и у, то новые координаты точек будут:

Новая длина малой прямой оставшейся почти параллельной оси х, будет следовательно, ее удлинение будет равно

И если принять или то сумма проекций перемещений точки на ось х и перемещений точки на ось у будет так что в соответствии со сказанным в § 8 малое изменение первоначально прямого угла или сдвиг будет

Поскольку при малых значениях можно судить подобным же образом о других удлинениях и сдвигах, то имеем следующие выражения:

Если мы подставим эти значения в формулы (4), (7), (8) и (10) для то получим шесть выражений составляющих давления через очень малые перемещения точек рассматриваемого тела.

Если затем подставить эти значения в три общих уравнения равновесия элемента твердого тела (12),

то получим три дифференциальных уравнения второго порядка, которые являются неопределенными уравнениями (т. е. применимыми для всех точек) задач, в которых идет речь об отыскании перемещений