§ 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина

Коэффициенты присоединенной массы были подсчитаны теоретически не только для сферы, но и для тел простой геометрической формы. Обычно их приводят в безразмерном виде, выражая их через отношение присоединенной массы ко всей массе, равной произведению плотности на объем (2) вытесненной жидкости.

Многие результаты, полученные различными авторами, приведены в книге Ламба [7]. Эллиптические цилиндры в случае поступательного движения и вращения рассматриваются в [7], § 71 и § 105—107; сфероиды и эллипсоиды — в (7], § 105—107 и § 113—116; пара сфер в [7], § 113—116.

Можно также вычислить присоединенную массу различных других «двумерных» фигур (цилиндров, движущихся параллельно своей оси). Так, Тейлор подсчитал величину для различных многоугольников и параболических двуугольников. Различные авторы рассматривали также круги и эллипсы с симметрично расположенными стабилизаторами с целью исследовать стабилизирующее действие, которое оказывают на летательный аппарат рулевые поверхности.

Из других осесимметричных тел, для которых аналитически найдена присоединенная масса, можно назвать тор, сферические луночки и «линзы», ограниченные соосными сферическими сегментами. В случае сфер были исследованы и слабо деформированные сферы.

Можно также рассмотреть тела Рэнкина — твердые тела вращения, которые при обтекании равномерным потенциальным потоком параллельно оси эквивалентны системе источников и стоков, размещенных на этой оси. Мы рассмотрим сейчас подобные тела Рэнкина в порядке обобщения результатов Макса Мунка и Дж. Тейлора.

Первый шаг заключается в том, что к выражению применяется второе тождество Грина с учетом того, что Итак, если большая сфера, содержащая область между поверхностью тела и сферой то, полагая мы получаем из формулы (8)

причем на сфере Интегралу по сфере можно легко оценить асимптотически, если воспользоваться представлением

Так как площадь сферы равна членами соответственно в формуле (10) можно пренебречь. В силу симметрии отпадают слагаемые, содержащие Чтобы оценить остаток, мы воспользуемся сферическими координатами,

положив Интеграл по сфере с точностью до О равен величине

Поэтому, переходя к пределу при мы получим соотношение

где есть момент диполя величины для направления Заметим, что вывод формул (10) — (12) справедлив для любой функции регулярной на бесконечности и удовлетворяющей условию

Мы получили обобщение результата Тейлора [83], который рассматривал случай . В этом случае есть и интегрированием по частям по внутренней области поверхности мы находим, что представляет собой объем тела Поэтому можно записать равенство

Наличие величины объема тела в формуле (12) Тейлор объяснил тем, что заполненная жидкостью полость в 5 при поступательном движении увеличивает его присоединенную массу на величину, равную произведению на объем полости, не изменяя диполыюго момента на бесконечности.

Он также отметил, что в случае тела Рэнкина Следовательно, при поступательном движении вдоль оси присоединенная масса равна произведению момента диполя, определяющей тело системы источников и стоков, на величину минус масса вытесненной жидкости.

Формула для сферы, когда как в § 98 формула (1), является частным случаем выражения

Случаю вытянутого сфероида вращения соответствует линейное распределение источников между фокусами.