Глава VI. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ
§ 98. Присоединенная масса сферы
Качественно представление о присоединенной массе общеизвестно. Например, пусть мы опустили легкое весло в спокойную воду и затем сделали гребок. Всем известно из опыта, что кажущаяся инерция (т. е. сопротивление ускорению движения) весла при движении его в воде значительно увеличивается. Эта увеличившаяся инерция как раз и называется «кажущейся массой» весла, а разность между кажущейся и действительной массой называют «индуцированной» или «присоединенной массой».
Точное математическое определение присоединенной массы впервые дали Грин и Стокс более ста лет назад. Ход их рассуждений был примерно таков.
Рассмотрим сферу массы 
и радиуса а, движущуюся со скоростью 
в несжимаемой невязкой жидкости плотности 
(на протяжении всей этой главы мы будем рассматривать лишь безвихревые течения такой «идеальной жидкости»). Не ограничивая общности, мы можем считать, что движение направлено по оси сферической системы координат. Потенциал скоростей для жидкости, покоящейся на бесконечности, совпадает с потенциалом диполя, который в сферических координатах имеет вид
Действительно, легко проверить, что нормальная производная потенциала 
представляет собой нормальную составляющую скорости точек на поверхности сферы (§ 4). Радиальная и трансверсальная составляющие скорости в произвольной точке жидкости равны соответственно
Поэтому полная кинетическая энергия жидкости выражается формулой
Так мы получаем следующий классический результат: кинетическая энергия жидкости равна кинетической энергии частицы, движущейся с той же скоростью, что и сфера, и имеющей массу 
равную половине массы вытесненной сферой жидкости.
Кроме того, очевидно, что в невязкой жидкости вращение сферы не оказывает на окружающую жидкость никакого влияния; следовательно, момент инерции сферы остается неизменным. Это наводит на мысль, что (если пренебречь влиянием сил тяжести) сфера в такой жидкости динамически эквивалентна более тяжелой сфере в вакууме, кажущаяся масса 
которой есть сумма массы сферы 
и присоединенной массы 
равной половине массы вытесненной воды, но момент инерции которой не изменяется. Это будет строго доказано в § 109, где мы покажем, что все динамические характеристики всякого безвихревого несжимаемого течения можно вывести из выражения для его кинетической энергии при помощи общих уравнений лагранжевой динамики.
