§ 72. Моделирование по числу Фруда и по числу кавитации

Инспекционный анализ можно также применять для получения законов моделирования явлений, в которых вязкость и

сжимаемость не играют существенной роли, но зато имеется «свободная поверхность», находящаяся под постоянным давлением. В частности, такие законы применимы к гравитационным волнам и к явлению кавитации в жидкостях. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. В однородном гравитационном поле интенсивности Эйлеровы уравнения движения и краевые условия на твердых границах, а также условие безвихренности и условие на «свободной поверхности» на границе сред жидкость — газ остаются неизменными при всех преобразованиях вида (22), оставляющих неизменным число Фруда

Доказательство. В силу теоремы 5, достаточно рассмотреть условие на свободной поверхности т. е. условие того, чтобы был нормален к ограничивающей поверхности. Для доказательства умножим уравнения (23) на как при выводе уравнений (28); мы получим безразмерное уравнение

Так как есть направляющий косинус интенсивности гравитационного поля и так как определяет то мы получаем динамическое подобие при пропорциональности дифференциалов коэффициента давления (хотя и нет обычной пропорциональности величины если только числа будут равны.

Действительно, давление в окружающей среде это обычное локальное атмосферное давление при моделировании гравитационных волн; при кавитационном моделировании нужно рассматривать также давление пара Это стало вполне ясно лишь в 1924 г., когда Тома ввел число кавитации

До этого считалось общепризнанным, что кавитация зависит от однородного безразмерного параметра

входящего в уравнение (28), что непосредственно следует из обычного анализа размерностей.

Полный инспекционный анализ вместе с предположением, что кавитация возникает самопроизвольно при дает теоретическое обоснование для предпочтения формулы (32), ибо это предположение равнозначно постулированию разрывного уравнения состояния гл. III (14):

и

При заданных преобразование подобия (22) не изменяет соотношений (33) тогда и только тогда, когда оно не изменяет величину доказательство аналогично доказательству теоремы 7.

При моделировании можно оставить неизменными как гравитационные, так и кавитационные члены при линейном масштабе взяв для скорости масштаб (одно и то же и изменяя таким образом, чтобы преобразовывалось в отношении Такое «моделирование по числу Фруда с понижением давления» сейчас широко используется при исследовании кавитации судовых винтов; может оказаться, что в таких моделях давлением пара нельзя пренебречь.