§ 7. Парадокс Даламбера
Более известным и более давним, чем парадокс обратимости, является парадокс Даламбера. Согласно этому парадоксу, из допущений, сделанных в § 5, следует
Рис. 1. Обтекание цилиндра, по Эйлеру.
Для случаев кругового цилиндра (рис. 1) и сферы это следует, в силу симметрии, из явной формы потенциала скоростей:
и теоремы Бернулли
при
. Если задача корректно поставлена, то наличие четырехкратной симметрии, как в данных случаях, позволяет показать, что
исходя только из соображений обратимости ([1], стр. 248).
Вообще же парадокс Даламбера следует из принципа обратимости для любого профиля, который обладает центральной симметрией, т. е. для такого, который отображается в себя при
отражении относительно неподвижного центра симметрии. Обтекание плоской пластинки на рис. 2, а дает пример подобного рода. Давления, действующие на элементы поверхности, соответствующие друг другу при центральной симметрии, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, эта система сил сводится только к паре сил (см. прим. 1) на стр. 26).
Рис. 2. Обтекание плоской пластинки, по Эйлеру
по Жуковскому
и по Гельмгольцу
Демонстрация парадокса в общем случае дело довольно тонкое, при этом используется сложная теорема о поведении решений уравнения
на бесконечности. А именно, пусть
возрастает на бесконечности, по крайней мере как первая степень
Тогда можно показать, что
где
«регулярна на бесконечности» ([4], гл. X, § 8; [2]). Под этим мы понимаем то, что
можно разложить в некоторый