§ 7. Парадокс Даламбера

Более известным и более давним, чем парадокс обратимости, является парадокс Даламбера. Согласно этому парадоксу, из допущений, сделанных в § 5, следует

Рис. 1. Обтекание цилиндра, по Эйлеру.

Для случаев кругового цилиндра (рис. 1) и сферы это следует, в силу симметрии, из явной формы потенциала скоростей:

и теоремы Бернулли при . Если задача корректно поставлена, то наличие четырехкратной симметрии, как в данных случаях, позволяет показать, что исходя только из соображений обратимости ([1], стр. 248).

Вообще же парадокс Даламбера следует из принципа обратимости для любого профиля, который обладает центральной симметрией, т. е. для такого, который отображается в себя при

отражении относительно неподвижного центра симметрии. Обтекание плоской пластинки на рис. 2, а дает пример подобного рода. Давления, действующие на элементы поверхности, соответствующие друг другу при центральной симметрии, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, эта система сил сводится только к паре сил (см. прим. 1) на стр. 26).

Рис. 2. Обтекание плоской пластинки, по Эйлеру по Жуковскому и по Гельмгольцу

Демонстрация парадокса в общем случае дело довольно тонкое, при этом используется сложная теорема о поведении решений уравнения на бесконечности. А именно, пусть возрастает на бесконечности, по крайней мере как первая степень Тогда можно показать, что

где «регулярна на бесконечности» ([4], гл. X, § 8; [2]). Под этим мы понимаем то, что можно разложить в некоторый

сходящийся ряд (аналогичный ряду по отрицательным степеням в разложении Лорана), члены которого суть произведения отрицательных степеней и сферических гармоник, выраженных через широту и долготу, (Для таких решений уравнения правдоподобная гипотеза подтверждается, следовательно, строгой теоремой.)