§ 109. Доказательство того, что система является лагранжевой

Теперь для трехмерного тела ограниченного объема мы докажем справедливость предположения, что обобщенные силы определяемые вариационными уравнениями Лагранжа (3), действительно являются компонентами результирующего давления или соответственно момента силы давления в обычном смысле. Последние, конечно, определяются математически как интегралы по поверхности тела

Здесь обозначает нормальную составляющую смещения поверхности при поступательном или вращательном движении, соответствующую обобщенной координате, а определяется из уравнения Бернулли

для неустановившегося движения в идеальной жидкости [гл. I, (5)], если, как обычно, пренебречь гидростатическими подъемными силами.

Строгое проведение доказательства затрудняется тем, что полная масса рассматриваемой системы бесконечная, а также бесконечно число измерений «пространства конфигураций» в

соответствии с бесконечностью числа степеней свободы при движении жидкости. Вопросом преодоления этих трудностей занимался лишь Ламб ([82] и [7], § 135, 136), и, как кажется, не совсем успешно. Поэтому мы приведем новое и весьма изящное вариационное доказательство, принадлежащее, с точностью до небольших видоизменений, Дж. Брейквеллу. При изложении этого доказательства мы будем пользоваться выразительной -символикой для вариаций, общеупотребительной в динамике, хотя большинство современных авторов, занимающихся вариационным исчислением, предпочитают обычные обозначения дифференциального исчисления.

Мы применим без доказательства две общие теоремы. Первая из них представляет собой тождество Эйлера для первой вариации

где те же, что и в уравнениях (3), и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Вторая теорема заключается в том, что в тождестве (22) возможны все вариации лишь бы они удовлетворяли условиям Это равносильно «голономности» пространства конфигураций для твердого тела. Отсюда следует, что для доказательства тождества при сравнении формул (3) и (2) достаточно доказать первое тождество из следующих двух:

Второе тождество становится очевидным, если дифференциал массы в формуле (23) записать в виде

Тождество (23) можно доказать, преобразуя правую часть следующим образом. Наше преобразование допустимо, поскольку, как и раньше, благодаря чему четырехкратный интеграл по пространству и времени сходится абсолютно, и, следовательно, можно менять порядок интегрирования. Прежде всего, воспользовавшись лагранжевой системой координат,

движущейся вместе с жидкостью, мы непосредственно получаем соотношение

где Интегрируя по частям, для каждой частицы жидкости находим соотношение

где обозначает ускорение.

Из уравнений движения (гл. I, (2)) следует, что если можно пренебречь гидростатической подъемной силой (§ 21, теорема 1), то , и, следовательно,

так как для несжимаемой жидкости. Аналогично Снова подставим формулу (25) в последнее выражение в формуле (24) и, кроме того, воспользуемся для преобразования (24) формулами (26) и аналогичным ему соотношением. Мы получим следующий результат:

Так как четырехкратный интеграл, как и раньше, сходится абсолютно. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования и затем, применив теорему о дивергенции получим равенство

Здесь обозначает составляющую вектора нормальную к общей границе твердого тела и жидкости. Так как твердое тело и жидкость соприкасаются, то в обозначениях формулы . В частности, в точках и первый член в правой части равенства (28) обращается в нуль, так как Из равенства мы получим также в силу формулы (20) следующее выражение;

Подставив это в равенство (28), получим соотношение

Это соотношение доказывает тождества (23), следовательно,