§ 6. Парадокс обратимости

Одной из фундаментальных задач гидромеханики является определение силы, действующей на твердое тело, находящееся в стационарном поступательном движении с постоянной скоростью а в однородной покоящейся жидкости. Если твердое тело движется параллельно некоторой плоскости симметрии, то эту силу можно разложить на лобовое сопротивление подъемную силу и момент действующий в этой плоскости.

Лагранж мог бы заметить, пользуясь весьма простыми соображениями обратимости, что идеализированная краевая задача § 5 может не привести к правильному результату при определении сопротивления, испытываемого реальными твердыми телами при движении в реальных жидкостях. Основная мысль заключается в следующем (см. [1]).

Определение 1. Обращение течения определяется как причем в обоих течениях давление и плотность в соответствующих точках одинаковы.

Прямой подстановкой можно показать, что обращение любого течения, удовлетворяющего уравнениям (1) — (3), также удовлетворяет уравнениям (1) — (3), правда, при обращении и краевых условий. В частности, справедлива следующая лемма.

Лемма. Если есть стационарное безвихревое течение вокруг твердого препятствия и то таковым является и при Кроме того, поля давления, так же как и одинаковы для

Эта лемма находится в качественном противоречии с динамикой реальных жидкостей: в действительности изменение направления движущегося тела на противоположное обычно

влечет обращение величин (хотя и не , а не оставляет их неизменными.

Поучительно проанализировать предыдущее противоречие подробнее. Пока не установлено, что краевая задача в § 5 корректно поставлена, нельзя делать вывод о том, что ее уравнения ошибочны. Возможно, что потребуется ввести какое-нибудь дополнительное условие. Действительно, как мы увидим в § 10, это может оказаться справедливым для сверхзвукового течения (т. е. если число Маха ). Чтобы пояснить это, проведем следующее разграничение:

Определение 2. Будем называть гидродинамические теории неполными, если соответствующие условия определяют обтекание данного препятствия не единственным образом; переопределенными, если эти условия математически не совместны; ложными, если корректно поставленная задача дает грубо ошибочные результаты.

Теорема 1. Всякая обратимая гидродинамическая теория в отношении расчета лобового сопротивления и подъемной силы является неполной, переопределенной или ложной.

Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показано, что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7 из § 5, является корректно поставленной. Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера-Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока.

Околозвуковой случай. По поводу этого случая, когда в дозвуковом потоке имеются локальные сверхзвуковые зоны, высказано много различных и противоречивых утверждений. Были построены математические модели подобных околозвуковых течений, но они, по-видимому, очень слабо отражают физическую

картину. Еще более драматическим обстоятельством является то, что для некоторых профилей никакое околозвуковое течение без ударной волны невозможно. Этот парадокс околозвукового течения недавно установлен К. Моравец. По терминологии теоремы 1, это означает, что задача околозвукового течения в теоретической (Эйлера — Лагранжа) гидродинамике может быть переопределенной.

В § 10 мы увидим, что задача сверхзвукового течения — типичная неполная задача, и примечательно, что различные разрешения парадокса обратимости в трех предыдущих случаях находятся в соответствии с общей математической теорией краевых задач эллиптического, смешанного и гиперболического типов,