§ 108. Геометрическая интерпретация
Теперь мы будем трактовать теорию кажущихся масс как раздел чистой геометрии. Начнем с того результата из § 100, 101, что система, состоящая из твердого тела 2 в идеальной жидкости, есть инерциальная лагранжева система с кинетической энергией, равной
Отсюда можно легко вывести классический результат, заключающийся в том, что «естественные» траектории, получающиеся при отсутствии внешних сил, представляют собой геодезические линии. В частности,
в формуле (3) тогда и только тогда, когда
принимает е. Это очевидное следствие из уравнений Эйлера представляет собой простейший случай принципа наименьшего действия — вариационной формулировки динамических задач.
Точнее, пространство «конфигураций»
нашей системы есть риманово многообразие с «длиной дуги»
Кроме того, поскольку энергия не изменяется,
есть величина постоянная, и поэтому как
так и
принимают экстремальные значения (локальный минимум). Эти положения легко проверить на известных примерах.
Так, если
есть поверхность без трения
в обычном пространстве, мы видим, что реакция связи перпендикулярна поверхности
; поэтому при отсутствии внешних сил нормаль к траектории частицы служит нормалью к
как известно, это условие характеризует геодезические линии. В более общем случае рассмотрим произвольную траекторию у на поверхности
Нормальной к поверхности
составляющей силы реакции обычно пренебрегают. Остается сила в плоскости, касательной к поверхности
Она разлагается на две составляющие: на составляющую
касательную к
которую можно