§ 108. Геометрическая интерпретация

Теперь мы будем трактовать теорию кажущихся масс как раздел чистой геометрии. Начнем с того результата из § 100, 101, что система, состоящая из твердого тела 2 в идеальной жидкости, есть инерциальная лагранжева система с кинетической энергией, равной Отсюда можно легко вывести классический результат, заключающийся в том, что «естественные» траектории, получающиеся при отсутствии внешних сил, представляют собой геодезические линии. В частности, в формуле (3) тогда и только тогда, когда принимает е. Это очевидное следствие из уравнений Эйлера представляет собой простейший случай принципа наименьшего действия — вариационной формулировки динамических задач.

Точнее, пространство «конфигураций» нашей системы есть риманово многообразие с «длиной дуги»

Кроме того, поскольку энергия не изменяется, есть величина постоянная, и поэтому как так и принимают экстремальные значения (локальный минимум). Эти положения легко проверить на известных примерах.

Так, если есть поверхность без трения в обычном пространстве, мы видим, что реакция связи перпендикулярна поверхности ; поэтому при отсутствии внешних сил нормаль к траектории частицы служит нормалью к как известно, это условие характеризует геодезические линии. В более общем случае рассмотрим произвольную траекторию у на поверхности Нормальной к поверхности составляющей силы реакции обычно пренебрегают. Остается сила в плоскости, касательной к поверхности Она разлагается на две составляющие: на составляющую касательную к которую можно

вычислить по формуле используя выражение и на составляющую, нормальную к в плоскости, касательной к поверхности равную произведению геодезической кривизны на

Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве . В частности, преобразуется как (контравариантный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам.