§ 105. Присоединенная масса и количество движения

В большинстве приложений влияние присоединенной массы сочетается с воздействием многих других факторов, в исследовании которых заинтересованы только специалисты. Поэтому мы сейчас вернемся к чистой теории кажущейся массы — теории, привлекательной и с эстетической и с математической точек зрения. Но прежде чем перейти к более абстрактным рассмотрениям. (§ 108—112), мы приведем несколько частных результатов, которые помогут уяснить смысл вводимых нами абстракций.

Составляющие тензора присоединенной массы наиболее удовлетворительно определяются посредством интегралов кинетической энергии подобно формулам (2) и (4). Эти интегралы сходятся на бесконечности, так как (§ 7) в пространстве. В случае плоских течений Дирихле интеграл кинетической энергии также сходится на бесконечности: и в этом случае интеграл конечен.

Сейчас мы будем интерпретировать как интегралы количества движения. Различные авторы отмечали, что интегралы количества движения расходятся в обычном смысле. Поэтому при интерпретации величин с помощью количества движения нужно соблюдать осторожность. А теперь рассмотрим это подробнее.

Коэффициенты из формулы (8) представляют собой интегралы, взятые по границе тела и в новых обозначениях их можно записать в виде

где гармоническая функция выражает дифференциал потока векторного поля через Так, в случае переносов, параллельных оси ; в случае поворотов вокруг оси получим и т. д. Посредством этого удобного обозначения определяется полезный класс интегралов Стильтьеса по поверхностям при условии, что интеграл конечен. Заметим, что всегда, когда К есть поле скоростей твердого тела, Это условие и еще то, что есть гармоническая функция, регулярная на бесконечности стр. 217), — вот и все, что нам потребуется для дальнейших выводов.

Определим «К-линию» как интегральную кривую системы или Таким образом, если К соответствует поступательному движению параллельно оси то К-линии суть прямые, параллельные этой оси; если К соответствует винтовому движению относительно оси то К-линии представляют собой винтовые линии вокруг этой оси и т. д. Теперь к векторному полю над областями ограниченными поверхностями где состоит из К-линий, мы применим теорему о дивергенции. Так как на поверхности состоящей из К-линий, и так как

то, пользуясь равенством мы получаем из формулы (14) следующее соотношение:

Показанные здесь знаки перед двойным и тройным интегралами верны, если нормали направлены внутрь области . В частности, если бесконечная область и поверхность отодвигается на бесконечность и если интеграл в области сходится, то получим формулу

Теперь рассмотрим различные случаи, соответствующие частным значениям коэффициентов в выражении для присоединенной массы.

Если то в зависимости от обозначений. Пусть есть бесконечно длинный цилиндр, ось которого параллельна оси и который содержит тело 2. Тогда, поскольку интеграл от количества движения

сходится на бесконечности, мы получаем следующий результат. Коэффициенты в выражении для присоединенной массы, соответствующие поступательному движению параллельно оси равны составляющей по количества движения жидкости внутри любого бесконечного цилиндра, соосного с и содержащего тело X при движении с единичной скоростью в направлении Область проще всего брать в виде цилиндра, описанного вокруг тела 2. Этот результат применительно к величине получил Теодорсен [84].

Далее, если то Пусть ограничивает любое твердое тело вращения, которое содержит тело и для которого Ось есть ось симметрии. Тогда граница области состоит из поверхности и из К-линий (кругов), так что формула (14 сводится к виду

где Следовательно, Т — момент количества движения относительно оси жидкости, находящейся в области

С помощью циклической перестановки осей из (15а) и (156) можно легко получить остальные величины . Случай винтового движения вокруг оси когда легко получить суперпозицией двух предыдущих формул. Пусть поверхность круговой цилиндр, онисанный

вокруг тела 2. Тогда присоединенная масса равна количеству винтового движения жидкости, находящейся внутри поверхности а именно то же самое верно для всех цилиндров, соосных с и содержащих тело .