§ 114. Стоксово затухание

В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г. При этом Стокс пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил «логарифмический декремент» (определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений.

При обычной трактовке подъемной силы линеаризованные уравнения движения сводятся лишь к уравнению

Мы можем исключить применив к обеим сторонам (47) операцию ротор. Обозначив вихрь и через получим следующее уравнение

В случае вынужденных синусоидальных колебаний постоянной амплитуды и угловой частоты уравнение (48) эквивалентно уравнению

При этом мы придерживаемся обычного соглашения, что физический вихрь скорости есть действительная часть комплексной функции пространственных координат и времени, аналитической по времени.

В случае плоских и осесимметричных течений (т. е. в случае поперечных колебаний цилиндров и продольных колебаний тел вращения) величину можно выразить через стоксову функцию тока (Так, для плоского течения Это намного упрощает краевые условия.

Детали довольно длинных вычислений ([13], т. 3, стр. 22—54, или [7], § 345—354) мы опускаем. Для сферы радиуса а

полной динамической характеристикой является сила ([7], § 354, (26))

Это значит, что помимо находящейся в той же фазе силы инерции присоединенной массы объем (2) (согласно § 98), имеется еще синусоидальная сила с амплитудой в раз большей и со сдвигом фазы на 135° и другая синусоидальная сила с амплитудой в раз большей и со сдвигом фазы на 180° по отношению к фазе колебаний.

Последняя сила — это просто сопротивление стационарному «ползущему обтеканию» сферы, движущейся с постоянной скоростью (§ 30). Первую же силу можно истолковать как силу торможения пограничного слоя, и такую схему мы рассмотрим сейчас в общем случае.