§ 14. Термодинамика невязких жидкостей
Для того чтобы объяснить явление ударной волны, необходимо привлечь некоторые важные термодинамические понятия; одних механических концепций для этого недостаточно. Так, например, необходимо рассматривать внутреннюю энергию жидкости
даже тогда, когда ее можно исключить из окончательных уравнений, как в случае адиабатического течения. Эта величина входит в закон сохранения энергии согласно формуле
Здесь
есть дифференциал работы при отсутствии внешних сил.
Совершенный газ можно определить посредством уравнений Эйлера, термодинамического уравнения состояния
где
газовая постоянная, и формулы для внутренней энергии
где
еще одна постоянная (удельная теплоемкость при постоянном объеме).
Для изотермического течения
и из соотношения
следует формула (3а) при
В случае адиабатического течения предполагается, что теплота переносится только посредством конвекции (нет ни теплопроводности, ни излучения); при этом имеем
в формуле (21). Для единичной массы так что
имеем тогда
и
Тогда формула (21) дает в результате уравнение
Полагая
получаем соотношение
из которого следует «политропное» уравнение состояния (За)
Совершенную жидкость можно определить посредством уравнений Эйлера и условия несжимаемости
(уравнение (36)).
Уравнения Рэнкина — Гюгонио.
Используя законы сохранения массы, количества движения и энергии, можно также найти соотношение между значениями давления, плотности и температуры
перед ударной волной и значениями тех же величин
за ударной волной. Например, для совершенного газа эти величины зависят только от одного параметра — отношения давлений
или интенсивности скачка
Тогда получим ([10], стр. 30) следующие равенства:
Парадокс обратимости, в силу которого можно было бы поменять местами индексы 1 и 2 в предшествующих формулах и принять
можно избежать, если привлечь второе начало термодинамики. (В § 13 принцип, согласно которому более плотные части баротропиых течений нагоняют менее плотные, приводит к такому же заключению. Это следует из неравенства
которое в свою очередь следует из положительности величин
в силу физических соображений.)
Соотношения для косых ударных волн можно легко вывести из соотношений для нормальных скачков уплотнения, используя подвижные оси (§ 67),