§ 4. Потенциал скорости

Основные уравнения Эйлера позволяют получить различные фундаментальные следствия, имеющие много важных приложений.

Самым существенным следствием является теорема Гельмгольца, справедливая для баротропного течения в консервативных гравитационных полях (т. е. при Эта теорема ([7], стр. 54; [1 ])), т. 1, стр. 149) утверждает инвариантность циркуляции по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, т. е. во всякий момент времени состоящему из одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, если в начальный момент жидкость находится в покое (например, вытекает из неподвижного резервуара) и если контур остается все время замкнутым, то циркуляция всегда должна равняться нулю. Это значит, что должен существовать локально однозначный скалярный потенциал скорости т. е. такая скалярная функция точки, что

Течения, обладающие таким свойством, называются (локально) безвихревыми. Следовательно, в односвязной области, такой, как область вне некоторого твердого тела в пространстве или половина симметричной области вне кругового цилиндра на плоскости, скорость должна быть однозначной функцией во всей области.

В случае баротропных течений при отсутствии внешних гравитационных сил для безвихревого движения [т. е. если выполняется уравнение (4)] можно получить интеграл уравнений движения, так называемое уравнение Бернулли

Действительно, уравнения движения (без гравитационного слагаемого) представляют собой в точности градиент соотношения (47).

Несжимаемые течения. В случае однородных несжимаемых жидкостей можно обобщить уравнение Бернулли (4) так, чтобы учитывался эффект гравитации. Действительно, для безвихревых несжимаемых течений градиент соотношения

эквивалентен уравнениям движения с гравитационным членом. Более того, в этом случае уравнение (1) сводится к виду откуда получаем уравнение

Наконец, очевидно, что на любой непроницаемой твердой границе производная

определяется нормальной скоростью движения этой границы.

Для однозначных во всей области функций уравнения (6) и (7) представляют классическую задачу теории потенциала, так называемую задачу Неймана. Как мы увидим в § 5 и гл. VI; эта задача имеет большое значение для теоретической гидродинамики. Но прежде отметим, что здесь подразумевается выполненной гипотеза (F) из § 1: предполагается, что задача Неймана должна иметь одно и только одно однозначное решение для разумным образом определенных границ.

Примечательно, что для строгого доказательства этого математического предположения, возникшего из гидродинамических рассмотрений, потребовалось более чем 50 лет. В настоящее время это основная теорема общей теории потенциала ([4], стр. 310—311; [2]).

Эта теорема показывает, что если несжимаемая невязкая жидкость в начальный момент находится в состоянии покоя, то поле скоростей в любой момент времени зависит только от мгновенной скорости границы и не зависит от предшествующих состояний. Приведенные теоремы показывают также, что движение любой части границы мгновенно оказывает воздействие на весь объем жидкости: скорость сигнала равна бесконечности (это согласуется и с физической интуицией).