§ 13. Возникновение ударной волны

Как и многие другие парадоксы, парадокс Эрншоу содержит в себе зерно существенной истины. При более тщательном исследовании соответствующих уравнений можно установить, что для адиабатического течения газа более плотные части волны конечной амплитуды нагоняют менее плотные и в конечном счете перегоняют их. Показывается это следующим образом.

Пусть а обозначает всю массу жидкости слева от данной точки, так что представляет собой положение частицы а в момент времени есть удельный объем Тогда из § 3 заменяется на есть субстанциональное ускорение; здесь индекс а означает, что величина а остается постоянной. Уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, поскольку Кроме того, можно использовать уравнение состояния (3), для того чтобы исключить посредством соотношения

Следовательно, если не учитывать силу тяжести, то формулы эквивалентны уравнению

Пуассон открыл важный класс решений уравнения (20), задаваемый формулой

где произвольная функция. Эти решения были названы простыми волнами ([6]. стр. 92); они характеризуются свойством: где есть квадрат скорости звука, которая является функцией удельного объема о. Как показал Адамар, любая плоская волна, только с одной стороны вступающая в жидкую среду (обычную жидкость или газ), в начальный момент находящуюся в состоянии покоя, должна быть простой волной.

Так как то формула (20 дает функциональное соотношение между , а следовательно, и между икс. Делая снова подстановку в (20, при , легко показать, что более плотные части газа нагоняют менее плотные стр. 96), причем с постоянной скоростью. Следовательно, в течение конечного промежутка времени неизбежно возникает разрыв плотности или «ударная волна», что находится в самом явном противоречии с гипотезой из § 1.