§ 61. Соотношения, не зависящие от единиц измерения

При выводе формулы в примере 1 мы использовали еще два других предположения. На абстрактном языке выше приведенных предположений I и II их можно сформулировать следующим, образом.

Предположение III. Существует функциональное соотношение вида

где однозначная функция. примере

Предположение IV. Соотношение (4) не зависит от выбора основных единиц.

Таким образом, в анализе размерностей рассматриваются функциональные соотношения положительных переменных, которые под действием (коммутативной, зависящей от -параметров) группы преобразуются по формулам (2). Говоря точнее, исследуются соотношения, которые не зависят от выбора единиц измерения и которые определяются следующим образом.

Определение. Функцион альное соотношение однородных по размерности переменных не зависит от выбора единиц тогда и только тогда, когда из соотношения следует

при любом преобразовании основных единиц Та.

Обратно, используя формулу (36), получаем, что из соотношения следует

для каждого преобразования Т, но мы, не вникая в эти тонкости, будем принимать как формулу (5), так и формулу (5). Другими словами, по определению, следующее соотношение не зависит от единиц тогда и только тогда, когда в гипероктанте, определяемом положительными векторами геометрическое место точек, соответствующее этому уравнению, инвариантно относительно преобразований группы (2).

Следует подчеркнуть, что уравнению соответствует некоторое геометрическое место точек и на вид функции не наложено никаких ограничений. Это иллюстрируется следующим простым примером.

Пример 2. Рассмотрим частицы, выведенные из состояния покоя и движущиеся с не зависящим от времени ускорением а. Обозначим расстояние через время через и скорость через

Для такой системы всегда справедливы хорошо известные однородные по размерности (следовательно, не зависящие от единиц измерения) соотношения Однако геометрическое место точек, определяемое уравнением в положительном октанте пространства совпадает с геометрическим местом, определяемым, например, соотношением

Поэтому соотношение (6) не зависит от выбора единиц, хотя оно и не является однородным по размерности.

Несмотря на свою искусственность, этот пример поможет нам выявить различие между формальным доказательством Букингема (§ 64) -теоремы и более общим геометрическим доказательством Ваши, которое будет изложено в § 63. Но прежде чем доказывать -теорему в общем случае, мы рассмотрим сначала частный случай когда соотношения, не зависящие от выбора единиц,

содержат точно на единицу больше величин чем имеется основных единиц Мы будем предполагать, что однозначная функция, а также, что величины зависят от основных единиц, т. е. матрица из формулы (2), состоящая из элементов, имеет ранг Эквивалентным условием является требование, чтобы квадратный минор В, соответствующий был неособой матрицей 1).

Как уже было указано выше, пример 1 относится к этому случаю при

Теорема 1. Всякое соотношение вида (7), не зависящее от выбора единиц и содержащее основных единиц, равносильно соотношению

где и определяются из уравнений

Доказательство. Так как величины положительные и минор В — неособая матрица, то мы можем найти такой вектор что где и пусть при этом

Отсюда, применив формулы (5), (5) к соотношению получим равенство

Применяя формулу (2) к первому члену и перенося его в другую сторону, можно записать

С другой стороны, так как минор В — неособая матрица, то система (8) имеет единственное решение Для этого решения х справедливы равенства

Выполнив элементарные выкладки с показателями, получим

Делая подстановку в правую часть равенства (9), получим формулу (8).

Для дальнейшего разъяснения смысла теоремы 1 приведем следующие известные примеры.

Пример 3. Предположим, что сопротивление которое жидкость оказывает движению твердого тела заданной формы, является инерциальным в том смысле, что оно определяется плотностью жидкости скоростью и диаметром тела Тогда при формула (8) эквивалентна соотношению

так что уравнения (8) сводятся к виду

откуда Отсюда, если соотношение не зависит от единиц измерения, то где постоянная. (В действительности же величина которая носит название баллистического коэффициента сопротивления, слабо изменяется.)

Пример 4. Если сопротивление определяется через и вязкость жидкости в виде функционального соотношения, не зависящего от выбора единиц, и если силами инерции можно пренебречь («ползущие течения» Стокса), то аналогичный подсчет размерностей приводит к соотношению где К — еще одна постоянная.