§ 10. Волновое лобовое сопротивление тонких крыльев
Парадокс Даламбера нельзя распространить на сверхзвуковое течение: даже без учета вязкости математические соображения приводят к существованию положительного лобового сопротивления. Ввиду парадокса обратимости это возможно только потому, что краевая задача (для стационарного движения), определяемая уравнениями Эйлера, не является корректной. Мы покажем сейчас это, начав с рассмотрения линеаризованного сверхзвукового течения (теория «тонкого крыла»).
Рассмотрим семейство независимых от времени сжимаемых течений, зависящих от параметра 8 — толщины крыла. Мы предполагаем (гипотеза (Е) из § 1), что потенциал скорости можно записать в виде
Подставляя его в формулу (10) и делая обычные в теории возмущений допущения, мы получаем при 8 0
Ясно, что случаям дозвукового течения 
звукового течения 
и сверхзвукового течения 
отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического и гиперболического типов. Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае.
В случае плоского течения 
еще со времен Даламбера известно, что общее решение уравнения (14 имеет вид
где 
произвольные функции.
Для того чтобы определить 
нужно использовать условие (7), которое при стационарном течении сводится к равенству 
или
для «тонкого крыла», ограниченного кривой 
Мы заменили в 
на 
предположив, что тангенс угла наклона 
Действительно, такая гипотеза (или, вернее, 
является основным допущением теории тонкого крыла.
Чтобы избежать парадокса обратимости и получить корректно поставленную задачу, необходимо систему (15), (15) дополнить некоторой добавочной гипотезой необратимости, выражающей интуитивно очевидный физический факт, что «волны скатываются вниз по течению». Если мы расположим тонкое крыло вдоль оси 
то последнюю гипотезу можно записать в следующем виде:
С учетом результата подстановки в уравнение Бернулли (5) наша система уравнений позволяет заключить о существовании волнового давления, которое, в приближении теории возмущений, получается в виде 
на верхней поверхности крыла 
виде 
на нижней поверхности крыла 
Определив продольную составляющую давления и выполнив интегрирование, мы получим для лобового сопротивления 
выражение
где интеграл берется по длине крыла.
Для достаточно малых углов наклона приведенные формулы вполне хорошо согласуются с экспериментом 
стр. 346, 350) и, очевидно, дают положительное сверхзвуковое «волновое лобовое сопротивление». Любопытно, что они согласуются с очень старой квазиэмпирической формулой Эйлера, в которую входит универсальный постоянный множитель, определяемый, по предположению, экспериментально.
