§ 37. Годографы в виде полукруга
В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов
Здесь
потенциал скоростей,
функция тока. Комплексный потенциал
есть аналитическая функция комплексной переменной
характеризующей положение точки, а ее производная
представляет собой сопряженное значение комплексной скорости и
где
Если известен потенциал
как комплексная аналитическая функция
, то, следовательно, можно определить
в виде аналитической функции от
, т. е.
и следовательно, можно (в принципе), исключив
, найти
Итак, для определения стационарного плоского течения Гельмгольца достаточно знать функциональное соотношение
Каков вид этой функции в случае плоских течений, приведенных на рис. 10, можно догадаться по годографам рассматриваемых течений.
Годографом плоского течения называется геометрическое место тех значений
, которые действительно достигаются в этом течении. Из рис. 10 легко видеть, что годографы соответствующих плоских течений (если они существуют) должны быть полукругами. Это следует из того, что
(направление течения) — величина, постоянная на плоских пластинках
(фиксированных границах), в то время как
(скорость течения) постоянна вдоль свободных границ, как показано в § 36.
С другой стороны, область
или геометрическое место значений, принимаемых в данном течении величиной
ограничена линиями
(линии тока), параллельными действительной оси
На рис. 10, а — это бесконечная полоса. Для случая на рис. 10, б — это полуплоскость, разрезанная вдоль положительной оси
(если выбрать постоянную интегрирования в
так, чтобы
критической точке было
Аппарат конформного отображения. Пусть теперь
любое течение, имеющее годографом полукруг (следовательно, ограниченное свободными линиями тока и прямолинейными стенками). Мы можем так выбрать оси координат, что величина
будет принимать действительные значения на неподвижной границе, и так выбрать единицы измерения, что на свободной границе будет
Затем с помощью преобразования
отобразим область годографа на нижнюю полуплоскость
Конформное преобразование наиболее общего вида, отображающее область годографа на нижнюю полуплоскость, задается формулой
где
действительные числа.
С другой стороны, область
любого односвязного течения, ограниченного линиями тока, есть обобщенный «многоугольник», одна или большее число вершин которого расположены на бесконечности и все стороны которого параллельны действительной оси. Следовательно, можно отобразить область
определяемую соотношением (3), на область
при помощи подходящего (конформного) преобразования Шварца — Кристоффеля:
где
действительные параметры
стр. 370). Мы видим, что для любого односвязного течения
у которого область годографа есть полукруг, можно записать
в виде
используя формулы (3) и (4), где
рациональная функция.
Рассмотренный выше метод можно легко обобщить на Случай, когда область годографа есть круговой сектор с углом,
при вершине равным
([17]), гл. II). В этом случае преобразование
отображает область годографа на полукруг и, следовательно, соотношение
представляет собой отображение области годографа на полуплоскость. А дальше мы действуем, как в предыдущем случае.