§ 37. Годографы в виде полукруга

В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов Здесь потенциал скоростей, функция тока. Комплексный потенциал есть аналитическая функция комплексной переменной характеризующей положение точки, а ее производная

представляет собой сопряженное значение комплексной скорости и где

Если известен потенциал как комплексная аналитическая функция , то, следовательно, можно определить в виде аналитической функции от , т. е.

и следовательно, можно (в принципе), исключив , найти Итак, для определения стационарного плоского течения Гельмгольца достаточно знать функциональное соотношение Каков вид этой функции в случае плоских течений, приведенных на рис. 10, можно догадаться по годографам рассматриваемых течений.

Годографом плоского течения называется геометрическое место тех значений , которые действительно достигаются в этом течении. Из рис. 10 легко видеть, что годографы соответствующих плоских течений (если они существуют) должны быть полукругами. Это следует из того, что (направление течения) — величина, постоянная на плоских пластинках

(фиксированных границах), в то время как (скорость течения) постоянна вдоль свободных границ, как показано в § 36.

С другой стороны, область или геометрическое место значений, принимаемых в данном течении величиной ограничена линиями (линии тока), параллельными действительной оси На рис. 10, а — это бесконечная полоса. Для случая на рис. 10, б — это полуплоскость, разрезанная вдоль положительной оси (если выбрать постоянную интегрирования в так, чтобы критической точке было

Аппарат конформного отображения. Пусть теперь любое течение, имеющее годографом полукруг (следовательно, ограниченное свободными линиями тока и прямолинейными стенками). Мы можем так выбрать оси координат, что величина будет принимать действительные значения на неподвижной границе, и так выбрать единицы измерения, что на свободной границе будет Затем с помощью преобразования отобразим область годографа на нижнюю полуплоскость Конформное преобразование наиболее общего вида, отображающее область годографа на нижнюю полуплоскость, задается формулой

где действительные числа.

С другой стороны, область любого односвязного течения, ограниченного линиями тока, есть обобщенный «многоугольник», одна или большее число вершин которого расположены на бесконечности и все стороны которого параллельны действительной оси. Следовательно, можно отобразить область определяемую соотношением (3), на область при помощи подходящего (конформного) преобразования Шварца — Кристоффеля:

где действительные параметры стр. 370). Мы видим, что для любого односвязного течения у которого область годографа есть полукруг, можно записать в виде используя формулы (3) и (4), где рациональная функция.

Рассмотренный выше метод можно легко обобщить на Случай, когда область годографа есть круговой сектор с углом,

при вершине равным ([17]), гл. II). В этом случае преобразование отображает область годографа на полукруг и, следовательно, соотношение

представляет собой отображение области годографа на полуплоскость. А дальше мы действуем, как в предыдущем случае.