§ 86. Расходящиеся волны давления

Существуют также важные семейства нестационарных течений, обладающие внутренней симметрией (18). Из таких семейств особенно заслуживают упоминания расходящиеся волны — плоские, цилиндрические и сферические. Плоские расходящиеся волны возникают, например, когда в ударной трубе рвется диафрагма в области позади слоя взрывчатки, взорванного с одной из сторон, или позади поршня, который мгновенно начинает двигаться с постоянной скоростью в бесконечно длинном цилиндре. Сферические волны возникают при равномерном расширении сферы.

Интересно отметить, что с расходящимися волнами давления связано одно из первых сознательных применении метода поиска симметричных решений 2). Мы рассмотрим их лишь с математической точки зрения.

Здесь удобнее перейти к переменным Лагранжа. Обозначим через а массу, определяемую путем интегрирования от какой-либо фиксированной материальной точки (например, от стационарного центра симметрии). Для плоских волн, если определять положение координатой и обозначать плотность через уравнение неразрывности эквивалентно соотношению между удельным объемом величиной х и массой а. Поэтому допустимые для данного уравнения состояния течения соответствуют решениям уравнений движения. Последние сводятся к уравнению

как указано в [6], § 18. (Легко проверить, что есть скорость, субстанциональное ускорение и что правая часть представляет собой

Так как скорость то автомодельность относительно преобразований (18) эквивалентна соотношению для всех следовательно, соотношению Полагая получим равенства:

Таким образом, равенства (26) служат выражением инвариантности относительно преобразований (18).

Подставив формулу (26) в уравнение (26), получим соотношение

так как прямой подсчет показывает, что Итак, «центрированные» плоские волны, обладающие симметрией расширения (18), представляют собой решения обыкновенного дифференциального уравнения (27). (Парадокс Эрншоу утверждает, что таких решений, обладающих симметрией переноса, нет.) Уравнение (27) имеет два семейства решений. Если то Это тривиальный случай, когда имеем равномерное течение с постоянными и и а. Во втором случае, откуда следует соотношение

Согласно формуле (26), следовательно, получаем условие в виде

если Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка легко проинтегрировать формально. Его общее решение имеет вид

где а С произвольно при условии, лишь если Если то решения не существует, так как тогда ввиду соотношения (28), Если то общее решение имеет вид

Аналогично можно разобрать случаи центрированных цилиндрических и сферических волн. Для случая измерений

уравнения движения записываются в следующем виде:

Условие автомодельности относительно преобразований (18) эквивалентно следующим соотношениям, аналогичным формуле (26):

Подставив соотношения (30) в уравнение (30), мы снова получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решения которого представляют собой цилиндрические и сферические волны.

Как и в § 84 и 85, можно получить волны, аналогичные описанным выше для общего уравнения состояния, не требуя условия политропности