§ 11. Тонкие тела вращения
Слишком сложно рассматривать здесь применение уравнения (14 Прандтля — Глауэрта к сверхзвуковому обтеканию так называемых «тонких», или «удлиненных», тел произвольной формы. Мы только приведем несколько примеров, иллюстрирующих общий тезис о том, что если результаты не получены математически и физически строго, то им присуща тенденция становиться ненадежными.
Относительно простую задачу представляет собой осевое обтекание твердых тел вращения (артиллерийские снаряды без рыскания). Карман и Мур первыми пришли к выводу, что наличие волнового лобового сопротивления вызывает резкий рост сопротивления при движении тонкого снаряда, когда 
и оценили это возрастание сопротивления на основе упрощений, указанных в § 10. Более чем через 10 лет Копал распространил этот вывод на снаряды с рысканием и показал, что упрощенная теория приводит к ряду ошибочных заключений. В частности, в случае конусов под углом атаки поперечная сила, подсчитанная по формулам из § 10, убывает с возрастанием 
, в то время как правильное приближение по теории возмущений дает ее увеличение (парадокс Копала).
В настоящее время признано (см. прим. 1) на этой стр.), что простая линеаризованная теория, приведенная в § 10, даже для тонких тел приводит к неправильному значению силы. В случае обтекания сверхзвуковым потоком тонких тел вращения, квадратичные члены в уравнении Бернулли при подсчете давления будут того же порядка величины, что и линейный член.
Для некоторых частных приложений простые линеаризованные уравнения из § 10 нужно видоизменять тем или иным способом. Так, для крыльев конечного размаха под углом атаки нужно рассматривать сбегающие вихревые слои. Кроме того,
в случае закругленных тел вращения, таких как сфера, линеаризованная краевая задача, определяемая посредством уравнений (14 и (15), дает несуществующие особенности в критических точках (т. е. на оси симметрии). Но самый существенный дефект теории «тонкого крыла» заключается в том, что она не в состоянии предсказать существование ударных волн.
Ударные волны легко наблюдаются в виде четких линий на мгновенных фотографиях движения снарядов, таких, как снимок, изображенный на фронтисписе. В случае конусов и других остроконечных тел при достаточно больших числах Маха эти волны «присоединены» к вершине подобно характеристикам решений линейных гиперболических дифференциальных уравнений. В других же случаях они «отходят» от вершины и оказываются при этом впереди снаряда — там, где по линеаризованной теории не должно быть никакого возмущения.
