§ 92. Обратные методы

Предыдущие примеры характеризуют метод «разделения переменных» как обобщение «метода поиска симметричных решений». В свою очередь метод разделения переменных представляет собой частный случай более широкого класса «обратных методов», систематически изученных Неменьи. Положение в этом вопросе нестрого можно описать следующим образом. Всякий раз, когда теория групп указывает на существование течений с разделенными переменными или течений, обладающих каким-либо другим свойством априорно постулируя свойство мы получим по меньшей мере те же решения, но, возможно, и какие-либо другие.

Например, согласно теории групп, существуют (локально) волны расширения Прандтля — Мейера, для которых

Векторная скорость постоянна вдоль всякой прямой некоторого однопараметрнческого семейства.

«Обратный метод» состоит в нахождении всех стационарных безвихревых течений сжимаемой невязкой жидкости, обладающих свойством Это получается следующим образом.

Мы знаем (§ 5), что уравнения движения в случае стационарного безвихревого потока эквивалентны уравнению Бернулли Поэтому с помощью численного интегрирования для каждого значения «давления торможения» (т. е. постоянной интегрирования) получим одну и только одну пару функций удовлетворяющих как уравнению состояния, так и уравнениям движения. Кроме того, течения со свойством — это течения, у которых такие что вихри отсутствуют и уравнение неразрывности (т. е. закон сохранения массы) удовлетворяется.

Рис. 26. Координаты для волны разрежения Прандтля — Мейера.

В рассматриваемой задаче можно достаточно хорошо разобраться геометрически, используя специальную систему координат, связанную с нашим однопараметрическим семейством прямых. В качестве специальной системы координат рассмотрим угол образуемый осью х с прямыми, и направленное расстояние вдоль линии, ортогонально пересекающей прямые и отсчитываемой от некоторой фиксированной кривой, как показано на рис. 26. Если вспомнить, что заданные прямые представляют собой, «вообще говоря», касательные к некоторой плоской кривой то сразу видно: (1) линии суть данные прямые; (2) линии образуют ортогональное семейство эволют кривой где есть радиус кривизны эволюты, означает длину дуги вдоль

В этой естественной геометрической системе координат легко записать условие незавихренности и условие сохранения массы.

По определению, незавихренность означает, что циркуляция по любой замкнутой кривой у равна нулю. Если а обозначает

угол между прямой Во и вектором скорости с модулем то циркуляция по равна

По теореме Грина, этот интеграл обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда

Так как то далее, в силу свойства величины суть функции только 0. Поэтому условие незавихренности эквивалентно условию

Положив будем иметь что обобщает формулу (20) из

Для того чтобы записать условие сохранения массы, заметим, что поток массы во внешнюю область через кривую равен

По теореме Грина, этот интеграл тогда и только тогда обращается в нуль, когда

В только что введенных обозначениях последнее условие сводится к уравнению где штрих означает дифференцирование по 6. После подстановки и упрощений получим , или т. е. уравнение (22) из § 84.

Следовательно, все течения, удовлетворяющие условию можно получить из течений Прандтля — Мейера заменой лучей, исходящих из вершины фиксированного угла, касательными к фиксированной кривой причем векторная скорость в соответствующих точках остается той же

Предыдущий пример является частным случаем более общей «обратной задачи» нахождения всех течений с одномерными годографами, т. е. таких течений, для которых векторы скорости описывают одну единственную кривую. (В общем случае годографом называется геометрическое место всех векторов скорости потока.)