§ 96. Теорема Бьянки
Предыдущее рассуждение можно существенно обобщить. Пусть
— любая система обыкновенных дифференциальных уравнений
порядка:
Предположим, что
инвариантна относительно группы
преобразований
в пространстве
Это значит, что если функция
удовлетворяет системе (63), то ей удовлетворяет и преобразованная функция
при всех
Мы покажем, что это обстоятельство значительно облегчает интегрирование системы (63).
Это легко показать, если
однопараметрическая группа. В данном случае, за исключением окрестностей особых точек, группа
локально сводится посредством замены координат к группе переносов
без изменений. Система (63) запишется в этих координатах в виде
Так как вычитание постоянной из
не изменяет ни одной из производных
то, очевидно,
фактически не зависят от
поэтому можно записать уравнение
Таким образом, мы сведем интегрирование системы (63) к интегрированию системы
порядка
и одной квадратуре
Обобщая сказанное, отметим следующее: пусть
любая
-параметрическая разрешимая группа Ли преобразований пространства
относительно которой инвариантна система (63). Тогда, почти по определению, группа
имеет локальные подгруппы Ли
такие, что 1)
нормальна в
; 2)
порождается подгруппой
и некоторой однопараметрической подгруппой
Рассматривая все в малом, предположим, что подмножества транзитивности подгруппы
представляют собой
-мерные подпространства постоянных
они параллельны гиперплоскости
для некоторого
Предположим, далее, что ввиду инвариантности системы (63) относительно
можно свести интегрирование системы (63) к интегрированию системы
и квадратурам. Мы покажем, что тогда аналогичное утверждение справедливо для 5,.
Возможны два случая. Если подмножества транзитивности группы
-мерны, то наше утверждение тривиально; В противном случае, поскольку
нормальная (т. е. инвариантная) подгруппа группы
множества транзитивности подгруппы
нетривиально преобразуются подгруппой
Выбрав надлежащим образом систему координат, мы можем предположить, что
осуществляет переносы
не изменяются. Следовательно, как и для системы (64), мы можем свести интегрирование системы (65) к интегрированию системы
и квадратуре
Этим завершается доказательство по индукции следующей теоремы.
Теорема 2 (Бьянки). Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений
порядка
инвариантна относительно некоторой разрешимой группы Ли, обладающей
-мерными множествами транзитивности. Тогда интегрирование системы
можно свести к интегрированию системы порядка
квадратурам.
В § 95
это группа
группа
группа в
группа
и