§ 96. Теорема Бьянки

Предыдущее рассуждение можно существенно обобщить. Пусть — любая система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка:

Предположим, что инвариантна относительно группы преобразований в пространстве Это значит, что если функция удовлетворяет системе (63), то ей удовлетворяет и преобразованная функция при всех Мы покажем, что это обстоятельство значительно облегчает интегрирование системы (63).

Это легко показать, если однопараметрическая группа. В данном случае, за исключением окрестностей особых точек, группа локально сводится посредством замены координат к группе переносов без изменений. Система (63) запишется в этих координатах в виде Так как вычитание постоянной из не изменяет ни одной из производных то, очевидно, фактически не зависят от поэтому можно записать уравнение

Таким образом, мы сведем интегрирование системы (63) к интегрированию системы порядка и одной квадратуре

Обобщая сказанное, отметим следующее: пусть любая -параметрическая разрешимая группа Ли преобразований пространства относительно которой инвариантна система (63). Тогда, почти по определению, группа имеет локальные подгруппы Ли такие, что 1) нормальна в ; 2) порождается подгруппой и некоторой однопараметрической подгруппой

Рассматривая все в малом, предположим, что подмножества транзитивности подгруппы представляют собой -мерные подпространства постоянных они параллельны гиперплоскости для некоторого Предположим, далее, что ввиду инвариантности системы (63) относительно можно свести интегрирование системы (63) к интегрированию системы

и квадратурам. Мы покажем, что тогда аналогичное утверждение справедливо для 5,.

Возможны два случая. Если подмножества транзитивности группы -мерны, то наше утверждение тривиально; В противном случае, поскольку нормальная (т. е. инвариантная) подгруппа группы множества транзитивности подгруппы нетривиально преобразуются подгруппой Выбрав надлежащим образом систему координат, мы можем предположить, что осуществляет переносы не изменяются. Следовательно, как и для системы (64), мы можем свести интегрирование системы (65) к интегрированию системы

и квадратуре Этим завершается доказательство по индукции следующей теоремы.

Теорема 2 (Бьянки). Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка инвариантна относительно некоторой разрешимой группы Ли, обладающей -мерными множествами транзитивности. Тогда интегрирование системы можно свести к интегрированию системы порядка квадратурам.

В § 95 это группа группа группа в группа и