Глава II. ПАРАДОКСЫ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ

§ 19. Уравнения Навье — Стокса

Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера — Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье — Стокса, вывод которых мы сейчас кратко изложим.

Впервые эти уравнения были выведены Навье (1822 г.) и Пуассоном (1829 г.), применившими упрощенную молекулярную модель для газов, что привело к введению положительной вязкости которая, как предполагалось, описывает молекулярную диффузию количества движения.

Однако в настоящее время общепризнано, что простые законы для межмолекулярных сил, принятые обоими учеными, безнадежно не соответствуют действительности, особенно в случае реальных жидкостей. Поэтому принципиально более предпочтительным в настоящее время считается континуальный подход Сен-Венана (1843 г.) и Стокса (1845 г.), который позволяет избежать указанных предположений. Мы начнем с изложения этого континуального (или «макроскопического») подхода.

Такой подход основан на фундаментальной гипотезе, заключающейся в том, что к напряжениям давления, которые рассматривал Эйлер, нужно добавить вязкие напряжения, линейно зависящие от скоростей деформаций. Ниже приводится краткое резюме применяемых при этом аргументов.

Задача заключается в том, чтобы найти связь между матрицей (вязких) напряжений и матрицей скоростей деформации Коши показал, что для любой среды, если считать недопустимыми бесконечно большие угловые

ускорения (гипотеза (Е) из § 1), матрица напряжения должна быть симметричной: . С другой стороны, матрица скорости деформации есть сумма кососимметричной составляющей

соответствующей вращению абсолютно твердого тела, и симметричной составляющей

Так как при вращении твердого тела физическая деформация отсутствует, то симметричная матрица выражает истинную скорость деформации.

При наличии изотропности главные оси матриц должны совпадать (мы напоминаем известную теорему алгебры, согласно которой всякую симметричную матрицу можно свести к диагональному виду путем вращения, приведя ее к соответствующим «главным» осям координат). Далее, из наших предположений о линейности и изотропности нетрудно получить, что относительно главных осей справедливо соотношение

при надлежащих постоянных Кроме того, с учетом симметрии относительно главной диагонали, можно записать равенство

Возвращаясь к общей системе координат, мы получим следующие основные уравнения:

которые будем применять ниже.

Если не вводить предположения о несжимаемости, то очень трудно получить для системы уравнений Навье — Стокса корректно поставленную краевую задачу, условия которой были бы физически состоятельными. Прежде всего часто бывает неизвестна величина А, (см. § 33). Стокс пробовал предположить, что «вторая вязкость» обращается в нуль:

Это может быть выведено из кинетической теории для одноатомных газов. Можно и ошибочным способом вывести условие (2), определив давление в виде Ловушка состоит в том, что не известно, определяет ли это «давление» плотность согласно термодинамическому уравнению состояния в котором берутся из статических измерений. Если это так, то условие (2) имеет место ([7], стр. 718); в противном случае, мы не знаем, как связать термодинамическое давление с тензором напряжения