§ 70. Инерциальное моделирование

На практике соображениями удобства экспериментирования и экономии часто руководствуются не только при выборе используемой жидкости (например, воздуха или воды), но и при выборе размеров моделей и скорости течения. Использование малых моделей для представления действительной картины большего масштаба обычно обосновывается с помощью анализа размерностей. В частности, обычно считают приближенно выполненным следующее условие.

Принцип инерциального моделирования, безразмерные величины остаются без изменения при всех преобразованиях вида (22).

Так, если характерная длина и V — характерная скорость, то считают, что инвариантно по отношению к преобразованиям (22). В качестве следствия можно получить, исходя из значения величин на модели действительную величину посредством соотношения

где характерные длина и скорость полного масштаба. Подобным же образом допускают инвариантность относительно преобразований (22) коэффициента давления где давление в окружающей среде. В случае невязкой

жидкости из этого следует инвариантность коэффициента где лобовое сопротивление и А — площадь поперечного сечения. Заметим, однако, что неизменность величины не предполагается (см. § 72): анализ размерностей охватывает не все.

В действительности метод инспекционного анализа позволяет нам обойтись без всех предположений анализа размерностей. В частности, принцип инерциального моделирования можно строго вывести из стандартных уравнений для несжимаемой невязкой жидкости при условии отсутствия свободной поверхности.

Так, почти тривиальные выкладки показывают, что преобразования (22) в сочетании с преобразованиями сохраняют неизменными как уравнения движения Эйлера и уравнение неразрывности, так и условие отсутствия вихрей Этим доказана следующая теорема.

Теорема 5. В случае несжимаемого течения к уравнениям движения Эйлера, уравнению неразрывности и незавихренности и к краевым условиям Эйлера на твердых стенках применим принцип инерциального моделирования.

Поскольку сформулированные выше условия определяют корректно поставленную краевую задачу (задачу Неймана, см. § 4) для стационарного течения при заданном отсюда вытекает следствие.

Следствие. Если справедливы уравнения Эйлера для безвихревого несжимаемого течения, то измеренное значение не должно зависеть от размеров, скорости движения и плотности жидкости.

Фактически, ввиду парадокса Даламбера, этот результат ме-вее интересен сам по себе, а интересен в качестве иллюстрации Важного метода. Однако приведенные рассуждения равным образом применимы к течениям Жуковского (§ 8), к «следам» Кирхгофа (§ 39), к течениям Гельмгольца — Бриллюэна (§ 47) и к теории вихревых дорожек Кармана (§ 56). Принцип инерциального моделирования справедлив также для примитивной ньютоновой кинетической теории сопротивления воздуха и для квазиэмпирической формулы Эйлера, выражающей лобовое

сопротивление и подъемную силу в виде определенных интегралов.

Если применить теорему 5 к ускоренному движению, возникающему из начального состояния покоя, то получим, что коэффициент присоединенной массы к, выражающийся

определяется формой рассматриваемого тела и не зависит от его размеров, от изменения ускорения и от плотности жидкости.

Экспериментально проверено, что принцип инерциального моделирования приближенно справедлив при режимах, соответствующих широкому диапазону изменений Однако он сразу перестает быть справедливым, когда появляются перемежающиеся вихри и турбулентность в пограничном слое (например, вблизи , см. § 28).