§ 101. Тензор присоединенной массы

Вблизи положения в некоторой системе отсчета удобно считать, что определяют поступательные движения тела в направлениях трех осей координат соответственно, определяют повороты (в радианах) относительно этих осей. Тогда из формулы (2) представляют собой числа, зависящие от выбора осей координат, связанных с .

При любом таком выборе осей пусть обозначают потенциалы скоростей, соответствующие переносам в направлении осей с единичной линейной скоростью, потенциалы скоростей при вращении тела вокруг этих осей с единичной угловой скоростью. Тогда кинетическая энергия жидкости из формулы (2) определяется равенством

где мы суммируем по повторяющимся индексам (обычное соглашение в тензорном исчислении). Как и в формуле (2), есть элемент объема жидкости; кроме того, поскольку очевидно, имеем т. е. тензор присоединенной массы симметричен.

При ускоренном движении из состояния покоя все ; следовательно, уравнение (3) сводится к уравнениям простого вида:

Отсюда следует простая интерпретация величины это есть -компонента силы, если телу в состоянии покоя сообщают единичное ускорение в направлении Кроме того, так как мы сразу получаем следующий принцип взаимности стр. 305): -компонента силы при единичном ускорении в направлении равна -компоненте силы под действием единичного ускорения в направлении

В простом случае (5) легко проверить непосредственно, что наша система лагранжева. В силу второго тождества Грина стр. 212) справедливо равенство

Но в этом случае производная равна (гл. I, (7)) нормальной составляющей скорости тела при движении с единичной скоростью в направлении Введем теперь следующее

удобное обозначение, которое будем использовать и в дальнейшем, так что можно записать соотношения:

По самому определению величины очевидно равенство

Очевидно также, что если обозначить через скалярное давление, то представляют собой компоненты силы, с которой тело 2 действует на жидкость, представляют собой компоненты момента этой силы.

Теперь рассмотрим течение, возникающее из состояния покоя при единичном ускорении в направлении Легко подсчитать, что если в начале то отличается от на бесконечно малую величину второго порядка относительно Так как мы свели задачу к случаю то из уравнения Бернулли для давления жидкости, движущейся с ускорением [гл. I, (5)], следует уравнение

Отсюда видно, что начальное гидродинамическое давление всюду равно произведению «потенциала ускорений» на плотность Соответствующая подстановка в формулу (8) дает т. е. есть -компонента силы при движении из состояния покоя, вызванном единичным ускорением в направлении . В частности, представляют собой обычные компоненты силы относительно выбранных нами осей, соответствующие моменты. Этим оправдано предположение (3) для случая (5), т. е. для случая ускорения тела из состояния покоя.

Когда движение сводится только к поступательному, координаты могут быть использованы в большом. Тогда т. е. постоянные, и, таким образом, из формулы (3) следует соотношение

Отсюда видно, что парадокс Даламбера (§ 7) возникает уже из-за принятия предположения (3), и это заставляет нас вспомнить, что наша модель в общем не соответствует физической действительности. Более сложным оказывается исследование моментов и вообще величин, характеризующих вращение при наличии поступательного движения (см. § 111—112).

Выведенные выше формулы относятся к «присоединенной» массе. Очевидно, что кажущаяся масса, определяемая как сумма собственной массы находящегося в жидкости (твердого) тела и присоединенной массы, представляется другим симметричным тензором (матрицей), обладающим в точности теми же свойствами.