§ 60. Группа подобия

Одна из наших основных целей — обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в § 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их при помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следующий пример.

Пример 1. Допустим (или вспомним!), что скорость волны в глубоком водоеме определяется ее длиной К и ускорением силы тяжести так что Допустим также, что это

соотношение остается тем же самым при любом выборе «основных единиц» длины и времени. Сделав эти предположения, мы можем математически рассуждать следующим образом.

Пусть в некоторой фиксированной системе основных единиц волна длиной А, движется со скоростью в гравитационном поле интенсивности Если выбрать новую единицу длины, равную а старых единиц, и новую единицу времени, равную старых единиц, то длина волны запишется в виде а ее скорость — в виде в то время как ускорение силы тяжести примет вид Выбрав мы получим и формулу

где С — скорость волны единичной длины в гравитационном поле, выраженная в новой системе основных единиц. Отсюда в новой системе основных единиц Но, по предположению, функция не зависит от выбора основных единиц; отсюда также и в старой системе единиц, где С — некоторая универсальная постоянная. (Для волн в глубоком водоеме

Предыдущее рассуждение можно провести в абстрактной форме в терминах обычных понятий «основных» и «производных» однородных по размерности величин. Эти понятия характеризуются следующими двумя постулатами, которые представляют собой нечто большее, чем просто определения. (В примере основная величина, в то время как производные величины.)

Предположение Имеются некоторые независимые «основные величины» такие, что они независимо преобразуются «заменой единиц» по формулам

где любые положительные действительные числа. (В механике это длина, время и масса; в примере так как масса не входит в рассмотрение.)

Предположение II. Имеются «производные величины» (такие, как плотность, скорость, вязкость и т. д.), которые однородны по размерности в том смысле, что при преобразовали по формуле (1) каждое умножается на подходящий коэффициент пересчета»:

Показатели называются «размерностями» величины в данной системе основных единиц; если все они равны нулю, то величина называется «безразмерной». Очевидно, что любое произведение степеней однородных по размерности величин остается однородным по размерности. Ясно также, что формула (1) является частным случаем формулы (2) при условии

Следовательно, с математической точки зрения предположение I излишне.

Преобразованиям Та взаимно однозначно соответствуют векторы с положительными компонентами («положительные» -векторы). Кроме того, если определить следующие действия:

то, очевидно, выполняются равенства

Говоря математическим языком, равенства (2) определяют представление мультипликативной группы положительных -векторов, определенной соотношением (3) как группа (2) линейных преобразований пространства векторов