§ 110. Однородность

Риманово многообразие V, определяемое формулой (19) по пространству конфигураций твердого тела 2 в бесконечной идеальной жидкости, замечательно тем, что оно обладает простой транзитивной группой «изометрий» (движений твердого тела), оставляющих инвариантным По современной математической терминологии оно является однородным пространством. Это объясняется следующим очевидным теоретико-групповым принципом относительности; относительно рассматриваемого тела все положения эквивалентны. Формально это можно выразить следующим образом.

Различные положения тела в пространстве взаимно однозначно соответствуют различным движениям твердого тела, перемещающим тело из фиксированного начального положения отсчета 0 в положения Поэтому мы можем отождествить точки пространства конфигураций с элементами евклидовой группы [45, стр. 259]. Кроме того, если а есть некоторое отдельное движение твердого тела, то для наблюдателя в положении а положение представляется точно

таким же, каким о представляется наблюдателю в 0, поскольку все декартовы системы координат эквивалентны. Поэтому «группа переносов» а не может изменить метрику (19), определяемую кинетической энергией.

Пусть теперь а изменяется: рассматривая V как групповое многообразие евклидовых групп, мы видим, что V имеет «просто транзитивную» группу «изометрий» (т. е. движений, оставляющих инвариантной метрику Подобное многообразие мы будем называть римановым. групповым многообразием; и мы всегда можем рассматривать изометрйи как левые переносы.

Кроме изложенного, можно сделать еще одно теоретико-групповое замечание. «Стационарным движением» в динамике называют движение, которое, если рассматривать его по отношению к осям, связанным с телом, не зависит от времени. Как и в формуле (13), ускорение стационарного движения увеличивает значение — на величину Следовательно, для того чтобы получить силы при произвольном движении, мы просто можем сложить силы, соответствующие ускорению из начального состояния покоя, рассмотренные в § 100—102, и силы, действующие при стационарном движении. Так, если мы хотим определить силы, действующие на твердое тело при его стационарном движении в идеальной (т. е. несжимаемой невязкой) жидкости, то мы можем определить силы и при любом движении. Поэтому мы ограничимся задачей определения сил, действующих при стационарном движении.

Хорошо известно, что единственными геометрически возможными стационарными движениями твердого тела в евклидовом пространстве являются поступательное и вращательное движения с постоянной скоростью и винтовое движение с фиксированным шагом и тоже с постоянной скоростью.

По определению, если стационарное движение, то смещение , необходимое для перехода от зависит только от т. е. есть Поэтому

Сократив в равенстве слева на величину получим тогда следовательно, перемещения образуют однопараметрическую подгруппу относительно канонических

параметров, является ее отображением при изометрии, а именно при групповом переносе

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, постоянна в соответствующем римановом многообразии Отсюда, согласно § 108, при стационарном движении вектор силы равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы на постоянную Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей «глево-инвариантной» метрике в группе . А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в § 100—102 «инерциаль-ными коэффициентами» .