§ 57. Количество движения в следе

Однако тот факт, что идеи Лагранжа оказались ошибочными, не означает, что теоретический подход в гидродинамике следует отвергнуть. Как мы видели в гл. II, есть большие основания считать уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости заслуживающими доверия. Наше рассмотрение теории следов мы закончим кратким обзором результатов, полученных к настоящему времени при помощи этих уравнений. Как и в случае кавитационного движения (§ 49), многое может быть объяснено при помощи законов сохранения.

Возможно, что наиболее полезной является интерпретация количества движения следа. В эксперименте позади всякого

движущегося в жидкости твердого тела мы наблюдаем движущийся вперед «след». Таким образом, для двумерного случая можно определить количество движения следа, приходящееся на единицу длины, на расстоянии х от препятствия, по формуле ([17], стр. 266).

где ось х выбрана параллельно направлению движения твердого тела, а величина и обозначает поступательную скорость движения жидкости.

Если мы принимаем эмпирический факт, что вне следа завихренностью можно пренебречь и поэтому здесь применимы приближения классической гидродинамики, то это приводит нас к предположению, что количество движения фактически не зависит от величины небольшого расстояния позади препятствия. Эта гипотеза подтверждается экспериментально.

Далее, естественно предположить, что количество движения в следе создается давлением тела на жидкость (второй закон Ньютона) и что оно равно по величине и противоположно по направлению сопротивлению которое жидкость оказывает движению тела (третий закон Ньютона). В частности, сопротивление должно равняться возникающему за единицу времени количеству движения в следе, которое в свою очередь должно равняться произведению их где количество движения в следе в расчете на единицу длины.

Эти интуитивные догадки можно сформулировать математически и вывести из разумных предположений относительно течения жидкости. Еще более интересно то обстоятельство, что некоторое уточнение таких формул дает наилучший способ измерения фактического лобового сопротивления крыла в полете, — по давлениям в трубках Пито, определяемым позади крыла на расстоянии от него, составляющем небольшую долю ширины крыла.

Для нас еще более интересно применение закона сохранения количества движения следа к модели «вихревой дорожки» из

§ 56. В очень длинном вихревом «хвосте» с ограниченной скоростью среднее продольное расстояние а между вихрями не может изменяться со временем. С другой стороны, количество движения следа в расчете на единицу длины легко подсчитать по формуле где среднее поперечное расстояние между вихрями. Теоретически из этого следует, что в невязкой жидкости, когда х постоянно во времени, значение А (а следовательно, и отношение среднего продольного расстояния к среднему поперечному) должно быть постоянно во времени: здесь нет тенденции к единственному «устойчивому» отношению протяженностей. В вязкой жидкости сосредоточения завихренности противоположных знаков диффундируют и взаимно уничтожаются; следовательно, можно ожидать возрастания величины что и наблюдается в эксперименте.

С научной точки зрения приведенные выше результаты интересны тем, что они помогают выяснить асимптотическую структуру реальных следов. Однако для получения конкретных выводов нужно ввести еще одну гипотезу подобия. Подобие и относящиеся к этому идеи будут основной темой последующих гл. IV и V. Относительно же применений к теории следов см. работу [17], гл. XII и XIV.