§ 82. Пограничные слои у клиньев

Рассмотрим теперь задачу интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в случае стационарного плоского течения; они уже были приведены в § 27. Эти уравнения имеют вид

а краевые условия таковы:

и

Как было отмечено в § 74, приведенные уравнения выведены в асимптотическом приближении. Это подсказывает нам мысль рассматривать масштабы х и у как независимые измерения и искать решения, симметричные относиуельно нетривиальных подгрупп четырехпараметрической группы аффинных преобразований

Можно надеяться на успех в случае обтекания бесконечного симметричного клина. В этом случае с помощью элементарного конформного преобразования можно показать, что эйлерово течение вне пограничного слоя имеет вид при подходящих значениях постоянных Случай соответствует плоской пластинке, параллельной потоку; случай соответствует плоской пластинке, перпендикулярной потоку.

Проверяя условия (12) и. (13) на инвариантность относительно группы (14) при мы получаем однопараметрическую подгруппу, определяемую соотношениями

Переменная инвариантна относительно этой подгруппы; поскольку величина получается в виде инвариантна также и функция определяемая равенством Поэтому мы ищем решение частного вида решение, инвариантное относительно подгруппы (14.

Всякое решение У такого вида удовлетворяет условиям (13), (13) и второму уравнению из формул (12), если Для того чтобы удовлетворялось оставшееся уравнение, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла уравнению

Последнее уравнение можно проинтегрировать численно при краевых условиях