§ 44. Модели течений при Q != 0

В случае обтекания пластинки в канале, формула (12а), можно считать положительной величиной, вводя в рассмотрение скорость вверх по течению (равную единице, что достигается выбором единиц измерения) в качестве скорости свободного потока. При таком условии Таким образом, предположение о том, что при определении коэффициента нужно использовать скорость на свободной линии тока, эквивалентно введению в предыдущем параграфе множителя

Рис. 15. а — течение Рябушинского; б - возвратная струя.

Однако построить течения Гельмгольца с условием в бесконечном потоке гораздо труднее. Кроме того, реальные верны имеют конечные размеры, а построить течения Гельмгольца с конечными кавернами особенно трудно из-за следующего парадокса.

Парадокс Бриллюэна. Каверны конечного размера» удовлетворяющие условию Бриллюэна, математически невозможны.

Ниже мы кратко рассмотрим доказательство (см. [19]). Поскольку давление внутри каверны минимально (условие Бриллюэна), свободные линии тока обращены своей вогнутостью в сторону каверны, которая должна быть поэтому выпуклой. Но такая каверна должна иметь критическую точку, в которой

сходятся две свободные линии тока, с минимальным давлением По теореме Бернулли из этого следует, что везде, за исключением свободной границы, а это означает, что тождественно.

Чтобы избежать парадокса Бриллюэна, были построены различные модификации течения Гельмгольца путем искусственного изменения задней части каверны. Можно полагать, что таким образом будет выполнено условие без значительного искажения течения около препятствия, создающего каверну.

Так, в 1921 г. Рябушинский [39] построил течение Гельмгольца со свободными линиями тока для двух симметрично расположенных пластинок (см. рис. 15, а) с условием Это построение можно кратко описать следующим образом (см. [17], гл. V, § 9).

«Область годографа» (т. е. диаграмма на -плоскости) одной четверти течения, очевидно, представляет собой четверть круга, а область квадрант ввиду вертикальной и горизонтальной симметрии. Следовательно, конформное отображение области годографа на область выполняется (см. § 40) по формуле

Посредством выбора единиц измерения мы можем свести все к случаю при из чего следует

После этого получим соотношение

откуда величину можно получить в виде эллиптического интеграла. Если есть скорость на свободной линии тока, то при откуда уравнению Бернулли откуда . С помощью этих формул легко найти коэффициент как функцию

Другое важное течение Гельмгольца с условием было построено в 1946 г. Эфросом и, независимо от него, Гильбаргом и Роком. Вместо симметричной каверны оно имеет возвратную струю (см. рис. 15, б). Возвратные струи наблюдались экспериментально, хотя они, по-видимому, образуются лишь

время от времени и неустойчивы. Поэтому модель возвратной струи представляет особый интерес с физической точки зрения.

Позади выпуклых тел можно построить также «заостренные» каверны при хотя в свое время считали, что это невозможно. Однако такие каверны вовсе не похожи на наблюдаемые, образцы которых показаны на фото I и фото II (см. § 51). Сохранить повышенное давление в устойчивой каверне (или в следе конечной длины), по-видимому, очень трудно.