§ 25. Парадокс турбулентности

Экспериментальные данные в этом случае в высшей степени замечательны. Хотя формула (13) (закон Пуазейля — Хагена) подтверждается при движении жидкости в капиллярных

трубках, она полностью теряет силу для обычных гидравлических труб. Точнее, мы можем сформулировать следующий общий парадокс.

Парадокс турбулентности. Для течений в прямых трубах гипотеза симметрии (С) из § 1 выполняется, если число Рейнольдса и обычно не выполняется при Когда наблюдаемое на опыте течение не обладает ни пространственной, ни временной симметрией и является турбулентным.

Рис. 8. Подобие течений воздуха и воды в трубах по числу

Оговорка «обычно» в предыдущем утверждении относится к тому, что можно избежать появления турбулентности, добиваясь полной обтекаемости входного отверстия, полируя стенки и обеспечивая на входе трубы ламинарное течение. При чрезвычайной тщательности можно было таким путем избежать появления турбулентности при значениях вплоть до 40000. Но если не принимать специальных мер, то течение в трубках при будет турбулентным.

Это хорошо иллюстрируют классические экспериментальные данные Стантона и Пэнеля, которые воспроизведены на рис. 8.

Они своеобразно подтверждают уравнения Навье — Стокса, показывая, что критическое число Рейнольдса при котором имеет место переход к турбулентности, одно и то же для воздуха и воды и равно приблизительно 1700. Теоретически этот вывод можно было бы получить из теоремы 2. Большинство современных специалистов считают, что течение Пуазейля является просто неустойчивым при а турбулентное течение все-таки удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса. Хотя из принципа подобия (7) теоремы 2 не следует справедливость уравнений Навье — Стокса, их пригодность в случае турбулентного течения подтверждается опытными измерениями скорости затухания однородной турбулентности.

Кроме того, гипотеза из § 1 все-таки выполняется статистически. Обозначая черточками средние значения, мы можем выразить симметрию посредством следующих формул:

и т. д. Таким образом, рассмотрение экспериментальных данных подсказывает нам концепцию статистически определенных решений уравнений в частных производных как новую и увлекательную область для математических исследований. Изучение таких «стохастических дифференциальных уравнений» открывает теперь новые горизонты в математическом анализе.

Несмотря на доблестные усилия математиков, наблюдаемая неустойчивость течения Пуазейля не получается в результате исследований средствами математического анализа. Предполагали даже, что в идеально гладких круглых трубах течение Пуазейля является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. Однако в настоящее время даже для случая двумерных возмущений совершенно достоверно установлена неустойчивость плоского течения Пуазейля между двумя параллельными пластинками при Поэтому подобное предположение представляется маловероятным.