§ 73. Моделирование по числу Маха

Еще со времен опытов Робина (1747 г.) известно, что сопротивление снаряда не пропорционально квадрату скорости; следовательно, ни один способ инерциального масштабирования не является приемлемым. В обозначениях примера 3 из § заметно возрастает вблизи скорости звука. Поэтому обычно табулировали как функцию и.

Было признано с самого начала, что причиной этого является сжимаемость воздуха, но более рациональное табулирование К как функции числа Маха относится лишь ко времени первой

мировой войны. По логике вещей следует, что на дальность полета снарядов должна влиять не только плотность, что видно уже из выражения, определяющего Ко, но и температура воздуха. Однако явным образом это было впервые установлено, по-видимому, после первой мировой войны.

Начиная примерно с 1935 г. в связи с созданием скоростных самолетов, аэродинамики стали интересоваться моделированием по числу Маха. Аэродинамические трубы, работающие при скорости можно использовать для воспроизведения условий полета со скоростями до если регулировать должным образом «эффективное» число Рейнольдса, но в них вовсе не сказывается влияние сжимаемости, которое проявляется при больших скоростях. Поэтому начиная с 1935 г. аэродинамики и баллистики объединили свои усилия для изучения сжимаемых течений.

Впервые законы моделирования при сохранении числа Маха для политропного уравнения состояния вывел Ланжевен (см. прим. на этой стр.) при помощи «инспекционного анализа» уравнений движения сжимаемого невязкого газа без учета сил тяжести. Мы изложим результаты Ланжевена в несколько обобщенном виде.

Обращаясь снова к теореме 5, мы видим, что уравнение неразрывности инвариантно относительно всех преобразований подобия. Очевидно также, что любое заданное уравнение состояния (30) не изменяется ни при каком преобразовании, которое не изменяет в соответствующих точках. Стало быть, оно не изменяется, в частности, при преобразованиях

Инспекционный анализ указывает, что в уравнениях (23) слагаемые при преобразовании (34) оба умножаются на В результате получаем теорему.

Теорема 8. Основные уравнения сжимаемого невязкого течения инвариантны относительно преобразования (34).

Как показано в гл. I, эти основные уравнения не определяют корректно поставленную краевую задачу. По меньшей мере

необходимо добавить к ним уравнения Рэнкина — Гюгонио для ударных волн (§ 14). Однако поскольку последние уравнения можно вывести из уравнения состояния и законов сохранения массы, количества движения и энергии — а эти законы не изменяются при любом преобразовании вида (34), — то произойдет соответствующее изменение масштаба и в уравнениях Рэнкина — Гюгонио.

Закон изменения масштаба (34) справедлив также в теории упругости, теории пластичности и в динамике взрывных процессов; он назван законом Кранца. Вообще он справедлив всегда, когда тензор напряжений есть функция только от деформации и не зависит от ее скорости, и всякий раз, когда в некотором напряженном состоянии освобождается определенная (в расчете на единицу объема) химическая энергия, как это требуется в условиях Чепмена — Жуге ([6], § 87). Любопытно, что этот закон справедлив также в релятивистской механике жидкостей.

Некоторые авторы хотели с помощью частного инспекционного анализа обосновать моделирование по числу Маха. Пусть обозначает локальную скорость звука, и пусть С — скорость звука в невозмущенном потоке. Тогда, если пренебречь силами вязкости и тяжести и обозначить то соотношение (23) примет вид

Это дает следующее правдоподобное правило: моделирование при постоянном числе Маха, что для данного невозмущенного потока эквивалентно преобразованиям (34).

Однако в общем случае это правило оказывается ложным, если рассматривать различные газы (газы с разными уравнениями состояния (30)) или даже один и тот же газ, но при различных температурах и давлениях. Сравним, например, динамически подобные баротропные течения газа, у которых условия свободного потока отнесены к двум точкам на одной и той же адиабате. В силу уравнений (22), величины и и всюду умножаются на постоянные множители. Поэтому в силу уравнения умножается на постоянный множитель , где а — отношение плотностей в свободном потоке. Следовательно, если давление в свободном потоке), то не зависит от Таким образом, для всех а справедливо Но это, очевидно,

эквивалентно соотношению (16) из § 64. Отсюда по теореме следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 9. Для того чтобы модели сжимаемых потоков по числу Маха были динамически подобны при любых условиях в невозмущенном потоке, уравнение состояния должно иметь специальный вид:

При этом достаточно, чтобы было одним и тем же вдоль всех адиабатических кривых. Обобщение на неадиабатические течения очевидно.

Линеаризованное моделирование по Маху. Интересный пример аффинного моделирования дает линеаризованное приближение (Прандтля — Глауэрта) стационарного сжимаемого обтекания тонких тел, уже описанное в § 10—11.

Возмущение потенциала скоростей удовлетворяет дифференциальному уравнению [гл. I, (14]

В дозвуковом случае оно эквивалентно уравнению где в силу чего этот случай аффинным преобразованием сводится к случаю несжимаемого потока.

В сверхзвуковом случае мы подобным же образом приводим это уравнение к виду

что представляет собой волновое уравнение. В обоих случаях мы получаем при соответствующих числах Маха аффинно подобные течения для аффинно эквивалентных моделей. Случай звуковой скорости нужно рассматривать отдельно разд. 9.6).

Таким образом, для аффинно подобных течений изменение значения эквивалентно (по крайней мере в теории) изменению «отношения толщин». Следовательно, за исключением обыкновенного моделирования по Маху (35), можно изменять масштабы в двух перпендикулярных направлениях независимо друг от друга, так же как в теории длинных волн.

Моделирование двойных соударений. Преобразование расстояний и плотности в обратном отношении при сохранении скорости и температуры

обладает некоторыми необычными свойствами. В совершенном газе (§ 3,14) оно сохраняет неизменным удельную теплоемкость адиабатическую постоянную и скорость звука в окружающей среде С. Следовательно, оно сохраняет число Маха .

Кроме того, это преобразование согласуется и с кинетической теорией газов, если рассматривать только двойные соударения молекул. Следовательно, оно сохраняет неизменными вязкость проводимость а среднюю длину свободного пробега молекулы А, изменяет в отношении Значит, оно сохраняет также число Рейнольдса число Прандтля и число Кнудсена Таким образом, оно пригодно для моделирования сжимаемости, явлений ударных волн, явлений вязкости, повышения температуры вследствие нагрева пограничного слоя и явлений в разреженном газе (большая средняя длина свободного пробега).

Наконец, данное преобразование сохраняет все вторичные процессы химической кинетики, следовательно, оно пригодно для моделирования многих явлений, рассмотренных в § 34, которые не укладываются в рамки механики континуума. С другой стороны, оно имеет то большое преимущество, что позволяет воспроизводить путем моделирования многие аэротермодинамические явления, протекающие в верхних слоях атмосферы, при испытаниях на моделях небольших размеров вблизи поверхности земли.