§ 27. Теория пограничного слоя

Фундаментальный вопрос механики жидкостей состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между решениями уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости и решениями уравнений Навье-Стокса для жидкостей с исчезающе малой вязкостью. Математически речь идет об асимптотическом поведении решений системы (3), (4) при (т. е. при ). Поскольку обычно для кораблей и самолетов числа Рейнольдса лежат в интервале , то для того же интервала огромное практическое значение имеет задача расчета лобового сопротивления.

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости относительно значения есть сингулярное возмущение. Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как с краевыми условиями мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли или

Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихренность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела. Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера.

Для собственно пограничного слоя Прандтль построил модель, согласно которой некоторые члены в уравнениях отбрасываются. Для двумерного потока он получил (пренебрегая силой тяжести) уравнение

плюс обычное условие несжимаемости Уравнение -уравнение параболического типа, и его можно интегрировать численно, пока с учетом краевых условий на неподвижной стенке и вне пограничного слоя, причем предполагается, что выражено через давление по уравнению Бернулли: Предполагается также, что в первой же точке, в которой при положительном у, происходит отрыв потока.

Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14); вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано

Мизесом. Однако многие результаты теории еще далеко не ясны. Кроме неразъясненной сингулярности у передней кромки, к ним относится также следующий парадокс.

Парадокс пограничного слоя. Теоретически при выводе уравнения (14) предполагается, что отношение толщины пограничного слоя 8 к длине х стремится к нулю. Экспериментально же показано, что если то пограничный слой становится турбулентным и уравнение (14) не удовлетворяется.

Например, пограничный слой остается ламинарным вдоль корпуса корабля и вдоль крыльев самолета во время полета всего на расстоянии нескольких сантиметров! Эту турбулентность пограничного слоя можно связать, как мы сейчас увидим, с турбулентностью в трубах.