Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость
в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости
относительно значения
есть сингулярное возмущение. Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как
с краевыми условиями
мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли
или
Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихренность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела. Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера.
Для собственно пограничного слоя Прандтль построил модель, согласно которой некоторые члены в уравнениях отбрасываются. Для двумерного потока он получил (пренебрегая силой тяжести) уравнение
плюс обычное условие несжимаемости
Уравнение
-уравнение параболического типа, и его можно интегрировать численно, пока
с учетом краевых условий
на неподвижной стенке и
вне пограничного слоя, причем предполагается, что
выражено через давление по уравнению Бернулли:
Предполагается также, что в первой же точке, в которой
при положительном у, происходит отрыв потока.
Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14); вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано
Мизесом. Однако многие результаты теории еще далеко не ясны. Кроме неразъясненной сингулярности у передней кромки, к ним относится также следующий парадокс.
Парадокс пограничного слоя. Теоретически при выводе уравнения (14) предполагается, что отношение
толщины пограничного слоя 8 к длине х стремится к нулю. Экспериментально же показано, что если
то пограничный слой становится турбулентным и уравнение (14) не удовлетворяется.
Например, пограничный слой остается ламинарным вдоль корпуса корабля и вдоль крыльев самолета во время полета всего на расстоянии нескольких сантиметров! Эту турбулентность пограничного слоя можно связать, как мы сейчас увидим, с турбулентностью в трубах.