§ 45. Криволинейные препятствия

Для математического аппарата, описанного выше, существенно то, что нам известны специальные конформные отображения и интегралы от специального вида функций. Хотя этот аппарат тщательно разработан и пригоден для решения многих задач с полигональными препятствиями (см. (17], гл. II, III и V), он, вообще говоря, не пригоден для исследования кавитационного обтекания криволинейных препятствий.

Создание быстродействующих вычислительных машин дало возможность подойти по-другому к этой проблеме, пользуясь общими теоретико-функциональными методами. Хотя такой подход до сих пор успешно применялся лишь к плоским течениям и хотя ниже мы будем рассматривать только такие приложения, подобные методы вполне могут быть применимы к осесимметричным и даже к произвольным струйным течениям.

В качестве иллюстрации этого современного подхода мы рассмотрим общий случай криволинейного препятствия, симметрично расположенного в бесконечном потоке, как показано на рис. 16. Мы снова будем предполагать, что смачиваемый участок поверхности препятствия расположен вертикально, и выберем единицы измерений так, чтобы на свободной границе было выполнено условие

Следуя Леви-Чивита [33], отобразим конформно и однозначно односвязную область течения на внутренность полукруга Г:

Из основной теоремы о конформных отображениях следует, что имеется в точности одно такое отображение области течения на внутренность полукруга переводящее точки соответственно в точки Очевидно, что функция отображает свободные линии тока на диаметр, расположенный на действительной оси, а смачиваемый участок поверхности препятствия — на полуокружность этом случае мы используем обозначения, отличающиеся от § 38-40.)

Рис. 16. Обтекание криволинейного препятствия.

Чтобы получить выражение для комплексного потенциала, удобно отобразить область на верхнюю полуплоскость посредством конформного преобразования

Тогда комплексный потенциал, очевидно, задается так:

где некоторая положительная постоянная. Это следует из того, что формула (18) позволяет отобразить область течения на плоскость с разрезом, причем точка разветвления попадает в точку а точка на бесконечности в точку

Теперь рассмотрим функцию Модуль ее равен единице, если действительное число; ее аргумент на участке равен на участке равен

в точке С имеется скачок аргумента — и. Новая функция определенная формулами

также аналитическая и регулярная функция внутри области На свободной границе, где действительное число, имеем равенство и следовательно, можно записать соотношение

Поэтому функция обращается в нуль на диаметре полукруга т. е. функция действительна, когда действительно

По принципу симметрии Шварца (см. прим. 1) на стр. 93) функцию можно аналитически продолжить на внутренность единичного круга Поэтому в рассматриваемом нами симметричном случае действительные на мнимой оси являющейся осью симметрии) мы можем написать равенствб

где все действительные числа, причем радиус сходимости ряда (20) не меньше единицы. Для неподвижной границы с помощью довольно тонких рассуждений можно доказать, что функция даже непрерывна гл. VI, стр. 135). Не строго выражаясь, множитель «снимает» простой полюс для функции (нуль для функции в критической точке.

Обратно, для данной функции (20) с радиусом сходимости, равным единице или больше единицы, уравнения (19) и

определяют течение, разделяющееся на две симметричные части позади гладкого препятствия имеющего непрерывную касательную. Это приводит к классическому результату Леви-Чивита.

Теорема 1. Течениям, разделяемым на две симметричные части симметричным препятствием в бесконечном потоке, однозначно соответствуют различные функции вида (20), регулярные при и непрерывные при и постоянные Это соответствие задается уравнениями (19), (20) и (21).