Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Уравнения ЭйлераМы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем. Пусть Если принять правдоподобную гипотезу (Е) из § 1 (игнорируя молекулярную структуру вещества!), то легко показать, что закон сохранения массы эквивалентен следующему уравнению в частных производных:
Если обозначить «субстанциональную» производную по времени для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью, через
Случаю несжимаемости соответствует При Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т. е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими. Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным); получающаяся скалярная функция
Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений в частных производных, в которой все производные по времени могут быть выражены через производные по пространственным координатам, к уравнениям (1), (2) нужно добавить еще одно соотношение. В теоретической механике однородных невязких жидкостей обычно вводится соотношение, связывающее плотность и давление:
Баротропные течения. Невязкие жидкости, удовлетворяющие условию (3), могут быть названы баротропными, а движения жидкости, удовлетворяющие уравнениям (1) — (3), -«баротропными течениями». Эти течения встречаются в (приближенно) однородных жидкостях при условиях, которые являются термодинамически обратимыми. (Под «однородной жидкостью» мы понимаем жидкость, имеющую однородное строение, например чистую воду или воздух.) Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике и в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение — типичные адиабатические процессы в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления. В случае идеального газа с термодинамическим уравнением состояния
— так называемое политропное уравнение состояния для идеального термодинамически совершенного газа. Предельный случай Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики; для воздуха Соотношение вида (3) является также приемлемым для жидкостей, которые только незначительно сжимаемы (т. е. при скоростях гораздо меньших скорости звука, особенно в обычных жидкостях). В этом случае можно просто писать
и говорить об однородной несжимаемой невязкой жидкости. Однако в этом случае уже нельзя выразить все производные по времени через производные по пространственным координатам.
|
1 |
Оглавление
|