§ 3. Уравнения Эйлера

Мы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем. Пусть означает вектор скорости жидкости в точке х в момент времени Пусть означает плотность жидкости, внешнее гравитационное поле и давление в жидкости.

Если принять правдоподобную гипотезу (Е) из § 1 (игнорируя молекулярную структуру вещества!), то легко показать, что закон сохранения массы эквивалентен следующему уравнению

в частных производных:

Если обозначить «субстанциональную» производную по времени для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью, через то можно переписать (1) в виде

Случаю несжимаемости соответствует следовательно,

При когда жидкость находится в состоянии покоя, напряжение в жидкости на любой элемент поверхности действует по нормали к нему. Это — физическое определение жидкости; экспериментально проверено, что ему удовлетворяют многие реальные вещества.

Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т. е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на в слое воздуха толщиной в четверть миллиметра вызывает усилие сдвига, составляющее примерно 1/2000 атмосферного давления стр. 2).

Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими. Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным); получающаяся скалярная функция может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных:

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений в частных производных, в которой все производные по времени могут быть выражены через производные по пространственным координатам, к уравнениям (1), (2) нужно добавить еще одно соотношение. В теоретической механике однородных невязких

жидкостей обычно вводится соотношение, связывающее плотность и давление:

Баротропные течения. Невязкие жидкости, удовлетворяющие условию (3), могут быть названы баротропными, а движения жидкости, удовлетворяющие уравнениям (1) — (3), -«баротропными течениями». Эти течения встречаются в (приближенно) однородных жидкостях при условиях, которые являются термодинамически обратимыми. (Под «однородной жидкостью» мы понимаем жидкость, имеющую однородное строение, например чистую воду или воздух.)

Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике и в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение — типичные адиабатические процессы в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления.

В случае идеального газа с термодинамическим уравнением состояния и постоянным отношением теплоемкостей элементарные рассуждения дают для адиабатического течения соотношение

— так называемое политропное уравнение состояния для идеального термодинамически совершенного газа. Предельный случай соответствует изотермическому течению (бесконечная теплоемкость или в бесконечном изотермическом резервуаре бесконечная проводимость).

Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики; для воздуха Однако для жидкостей уравнение (3) необходимо брать (приближенно) в виде где есть давление паров при кавитации (см. § 42).

Соотношение вида (3) является также приемлемым для жидкостей, которые только незначительно сжимаемы (т. е. при

скоростях гораздо меньших скорости звука, особенно в обычных жидкостях). В этом случае можно просто писать

и говорить об однородной несжимаемой невязкой жидкости. Однако в этом случае уже нельзя выразить все производные по времени через производные по пространственным координатам.