§ 81. Спиральные течения вязкой жидкости

Теперь мы проиллюстрируем метод «поиска симметричных решений» на классическом примере «спиральных течений» несжимаемой вязкой жидкости. Впервые окончательные формулы

были получены Джеффри и Хамелем. Наибольшее значение для приложений имеют частные случаи вырождения: радиальное течение в канале и круговое течение Куэтта. Все же мы рассмотрим общий случай, так как он представляет интерес с математической точки зрения.

Хорошо известно, что в случае плоских несжимаемых потоков уравнение неразрывности эквивалентно введению «функции тока» так что есть вектор скорости. Тогда выражение дает завихренность. Кроме того, уравнения движения Навье — Стокса для таких плоских течений эквивалентны уравнению

обычное обозначение якобиана, как обычно, кинематическая вязкость

Анализ размерностей показывает, что при геометрически подобных условиях поведение несжимаемых вязких жидкостей зависит только от безразмерного параметра Теперь мы будем искать автомодельные плоские течения для однопараметрических подгрупп группы подобия

Это значит, что мы будем рассматривать течения, инвариантные относительно некоторой спиральной подгруппы

где параметр с характеризует спираль.

Преобразования (7) переводят плоскость саму в себя. Так как постоянно, формулы (7) дают автомодельное движение при постоянном числе тогда и только тогда, когда значения в соответствующих точках одинаковы. Но дифференциалы значений функции тока У пропорциональны произведениям расстояний на скорости, так как Поэтому дифференциалы V будут инвариантны относительно спиральной группы (7). Итак, при заданном в полярных

координатах соотношении посредством преобразования (7) при получаем соотношения

По той же причине в случае автомодельных относительно группы (7) течений равные изменения К вызывают равные изменения поэтому есть линейная функция от (Постоянная не влияет на скорость, и ее можно положить равной нулю.) Комбинируя этот результат с соотношением (8), мы получим формулу

Согласно этой формуле, течение определяется произвольной постоянной а и функцией одной переменной Наиболее интересен случай, когда линии тока — спирали, т. е. когда в формуле (9).

Как и раньше, мы сделаем подстановку в дифференциальное уравнение общего вида (6); далее следуют выкладки.

В общем виде получается уравнение

откуда, в силу формулы (9),

Снова дифференцируя, получаем следующие уравнения:

Из формулы, дающей отношение площадей в якобианах, следует, что уравнения Навье—Стокса (6) эквивалентны уравнению

Выполняя указанные действия, используя равенства (10), (100 и сокращая на общий множитель мы получаем уравнение

Это и есть обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное Озееном; трудно найти другой столь же простой его вывод. С помощью подстановки можно придать уравнению (11) несколько более привлекательный вид; кроме того, оно удовлетворяется всегда, когда Во всяком случае, решения можно получать численным интегрированием.