§ 51. Пузырьки

Часто употребляемое вместо «каверны» слово «пузырек» указывает добавочно на малые размеры и подвижность. При рассмотрении маленьких пузырьков обычно необходимо учитывать силу тяжести и поверхностное натяжение, как мы уже видели в § 32. Мы изложим сейчас некоторые результаты относительно пузырьков, которые показывают правильность указанных соображений, и разъясним далее причины, по которым течения Гельмгольца дают лишь приближенную картину реальных каверн.

Сначала мы напомним ([11], т. I, п. 29) о скачке давления, равном который создается поверхностным натяжением при переходе внутрь поверхности сферического пузырька радиуса Уже это беглое замечание указывает на возможность того, что жидкость, из которой удалены все пузырьки радиуса может выдерживать натяжение величиной без кавитации!

Хотя ограниченность объема книги лишает нас возможности подробно исследовать этот увлекательный вопрос, мы все же напомним, что жидкости после дегазации в лабораторных условиях выдерживали натяжение величиной в десятки атмосфер, вопреки условию (14). Подобно этому вода, из которой удален воздух, может быть перегрета без парообразования. По этим причинам лабораторные измерения кавитации теперь, как правило, сопровождаются измерением содержания воздуха в жидкости. Только потому, что чаще всего «вода» не в достаточной мере однородна (ср. § 1), а содержит во взвеси много «пузырьковых ядер», условие (14) приближенно справедливо.

Рис. 21. Подъем плоского пузырька в канале.

Второй вопрос, имеющий математический интерес, связан с подъемом больших пузырьков в вертикальных трубах при наличии силы тяжести. Не затрагивая трудных задач физической реализации и устойчивости и пренебрегая поверхностным натяжением, мы рассмотрим идеализированный случай — подъем двумерного плоского пузырька, схематически изображенный на рис. 21, а.

Наиболее интересно здесь большое сходство с математическими методами, введенными в § 45, 46. Чтобы показать это. снова отобразим течение на единичный полукруг в плоскости (рис. 21,б), причем неподвижную границу отобразим на диаметр, а свободную — на полуокружность, как в § 37. Пусть диаметр трубы и скорость подъема пузырька (если оси неподвижно связать с верхней точкой пузырька, то есть скорость падения в в точке на бесконечности вверх по

течению). Тогда, что почти очевидно, потенциал скоростей

характеризует источник нужной интенсивности при стоки равной интенсивности при границы области переходят в линии тока.

Что касается сопряженной скорости то мы учитываем ее нули и бесконечности в области подстановкой, аналогичной подстановке Леви-Чивита (19):

Как и раньше, из принципа симметрии Шварца следует, что функция регулярна в единичном круге и ее ряд Тейлора

суммируется по Абелю при

Остается удовлетворить условию на поверхности раздела, т. е. уравнению Бернулли для свободной границы в стационарном несжимаемом невязком течении. Это условие эквивалентно нелинейному интегральному уравнению относительно неизвестной функции

которая определяется коэффициентами ряда (33).

Это интегральное уравнение аналогично уравнению (25), но более сложно. Найти его приближенное численное решение оказалось трудным делом. Вычисления привели к выводу, что что вполне хорошо согласуется с немногими имеющимися экспериментальными данными.