§ 46. Прямая задача
Теорема 1 позволяет решить обратную задачу — найти класс всех плоских течений бесконечного потока, разделенного на симметричные части криволинейным препятствием. Теперь мы обратимся к прямой задаче: найти, какова функция 
для данного двумерного препятствия 
симметрично расположенного в бесконечном потоке. Мы покажем, что эта задача эквивалентна решению нелинейного интегрального уравнения.
В принципе можно очень просто выразить все свойства течения с помощью функции 
Так, вдоль неподвижной границы 
в плоскости 
для 
запишем равенства
Нам будет удобно рассматривать также производную
предполагая в соответствии с гипотезой 
из § 1, что выписанные ряды Фурье удовлетворительно сходятся в случае достаточно «гладких» препятствий.
Мы покажем теперь, что 0 отличается на величину 
от направления 
касательной к препятствию. Так как 
(исключая критическую точку С), то очевидно, что 
равен 
на участке 
и равен 
на участке 
. С другой стороны, в силу формулы (19) и сделанных перед этим замечаний относительно величины 
значение 
равно 
на участке 
и равно 
на участке 
Оба эти соотношения показывают, что вдоль участка 
Длину дуги препятствия 
можно найти при помощи соотношения (21), из которого следует равенство
Применяя формулу (19) и элементарную тригонометрию, получаем соотношение
Аналогично, так как 
как и в формуле (21), находим соотношение
Сравнивая предыдущие формулы, окончательно получаем следующий результат:
Поэтому для кривизны, определяемой равенством 
получаем формулу
что можно сравнить с формулами (22в), (23).
Пусть теперь 
любое гладкое симметричной формы препятствие, имеющее кривизну постоянного знака (т. е. без точек перегиба), и пусть 
выражает кривизну как функцию угла 
на который касательная поворачивается за точкой С. Тогда, преобразуя формулу (24), получим выражение
где линейные операторы 
определяют функции 
через 
по формулам (22а) -(23в). (Действительно, 
тогда как 
является «преобразованием Дини» 
функции 
при соответствующем сингулярном интегральном ядре 
см. работу [17], стр. 136.) Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы течение, описанное в теореме 1, соответствовало препятствию, имеющему кривизну 
постоянного знака, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (25).
При малых значениях константы 
интегральное уравнение (25) можно разрешить прямой итерацией функционального преобразования
При больших значениях 
сходится «усредненная итерация» относительно соответствующим образом выбранного «весового» множителя 6, т. е. можно итерировать по формуле
Таким образом, используя современные быстродействующие вычислительные машины, можно эффективно разрешить интегральное уравнение (25), при заданном положительном значении 
подробности можно найти в литературе.
