§ 30. Парадокс Стокса

В § 25—29 мы рассмотрели трудности, связанные с теоретическими расчетами течений при больших числах Теперь мы перейдем к противоположному случаю, когда . В этом случае разложение по степеням уже не связано с «сингулярным возмущением» в смысле § 24; нелинейный конвективный член и не будет членом самого высокого порядка, и с математической точки зрения представляется вполне целесообразным его попросту опустить.

Это было сделано Стоксом, который ввел, таким образом, новый класс идеальных течений, обычно называемых «ползущими». В таком приближении Стокс вывел формулу

для сопротивления, испытываемого твердой сферой радиуса с при медленном движении со скоростью о в жидкости с вязкостью При выводе существенно используется гипотеза применительно к осевой симметрии. Окончательная формула (15) хорошо подтверждается экспериментально при

Казалось бы, вполне естественно применить тот же самый метод к круговым цилиндрам, движущимся перпендикулярно оси. Однако в этом случае мы имеем следующий парадокс.

Парадокс Стокса. Стационарное «ползущее> обтекание кругового цилиндра невозможно.

Доказательство. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье-Стокса (11) сводятся к уравнению . Если V — функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению т. е. V — бигармоническая функция. Отсюда следует, что V — аналитическая функция. Действительно, во всяком круговом кольце функцию V можно разложить в ряд Фурье

где удовлетворяют соотношениям

Если вектор скорости в прямоугольных координатах ограничен на бесконечности, то простое вычисление дает соотношение при Отсюда следует формула

С другой стороны, если то из теоремы о дивергенции следует уравнение

где С — кривая, ограничивающая область А.

Пусть теперь А — область между цилиндром и большой окружностью радиуса Так как на цилиндре интеграл в правой части предыдущего уравнения, взятый по этой части С, должен обращаться в нуль. На большой окружности, поскольку

справедливо соотношение

при Так как то отсюда следует, что т. е. V должно быть гармонической функцией. Следовательно, в формуле Наконец, из условия условия прилипания на поверхности цилиндра — следует, что а это завершает доказательство.