§ 30. Парадокс Стокса
В § 25—29 мы рассмотрели трудности, связанные с теоретическими расчетами течений при больших числах
Теперь мы перейдем к противоположному случаю, когда
. В этом случае разложение по степеням
уже не связано с «сингулярным возмущением» в смысле § 24; нелинейный конвективный член и
не будет членом самого высокого порядка, и с математической точки зрения представляется вполне целесообразным его попросту опустить.
Это было сделано Стоксом, который ввел, таким образом, новый класс идеальных течений, обычно называемых «ползущими». В таком приближении Стокс вывел формулу
для сопротивления, испытываемого твердой сферой радиуса с при медленном движении со скоростью о в жидкости с вязкостью
При выводе существенно используется гипотеза
применительно к осевой симметрии. Окончательная формула (15) хорошо подтверждается экспериментально при
Казалось бы, вполне естественно применить тот же самый метод к круговым цилиндрам, движущимся перпендикулярно оси. Однако в этом случае мы имеем следующий парадокс.
Парадокс Стокса. Стационарное «ползущее> обтекание кругового цилиндра невозможно.
Доказательство. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье-Стокса (11) сводятся к уравнению
. Если V — функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению
т. е. V — бигармоническая функция. Отсюда следует, что V — аналитическая функция. Действительно, во всяком круговом кольце функцию V можно разложить в ряд Фурье
где
удовлетворяют соотношениям
Если вектор скорости
в прямоугольных координатах ограничен на бесконечности, то простое вычисление дает соотношение
при
Отсюда следует формула
С другой стороны, если
то из теоремы о дивергенции следует уравнение
где С — кривая, ограничивающая область А.
Пусть теперь А — область между цилиндром и большой окружностью радиуса
Так как на цилиндре
интеграл в правой части предыдущего уравнения, взятый по этой части С, должен обращаться в нуль. На большой окружности, поскольку
справедливо соотношение
при
Так как
то отсюда следует, что
т. е. V должно быть гармонической функцией. Следовательно, в формуле
Наконец, из условия
условия прилипания на поверхности цилиндра — следует, что
а это завершает доказательство.