где
обозначает («групповое») произведение
в группе О.
Теперь рассмотрим геодезическую кривизну подгруппы С при
в метрике
. В силу § 108, ее величина пропорциональна следующей величине:
так как
при
при всех к. Это — видоизмененный тензор Кристоффеля (13); согласно § 110, коэффициент пропорциональности
подходящим выбором масштаба времени можно свести к единице. В конечном счете в действительности нас интересует не геодезическая кривизна, а величина
так что вопрос о коэффициенте пропорциональности не должен нас занимать.
Вычислим теперь частные производные, входящие в последнюю из формул (39). Для этого заметим, что, по определению, бесконечно малый вектор
с началом в
эквивалентен при левом сдвиге бесконечно малому вектору
с началом в тождественном преобразовании 0 тогда и только тогда, когда
Но правую часть выражения (40) с помощью разложения в ряд Шура — Кэмпбелла — Хаусдорфа можно представить в виде
где опущены члены, содержащие
во второй степени. Поскольку
эквивалентные бесконечно малые, отсюда следует соотношение
Теперь,записав,
, получим, до определению, подобно формуле (36) следующее равенство:
Подставив его в векторное уравнение (41) и приравнивая соответствующие компоненты, получим основное соотношение
где отброшены члены со степенями
выше первой.
Но, по определению риманового группового многообразия,
инвариантно относительно левых переносов. Поэтому, в силу условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие равенства:
Лчптт
с точностью до членов выше первой степени относительно
Переставляя «немые индексы» суммирования
к в фигурных скобках, чтобы приравнять коэффициенты, получаем соотношение
Теперь, продифференцировав по
и обозначив оба индекса суммирования через
получим формулу
Далее, подставив формулу (43) в выражение (39), получим равенство
Кроме того, в силу известной антисимметрии
получаем для структурных постоянных
и
Подставляя эти выражения в предыдущую формулу и сокращая на четыре, мы получаем окончательную формулу