§ 112. Силы и коммутаторы

Пусть теперь произвольное -параметрнческое рнманово групповое многообразие, и пусть С — любая однопараметрическая подгруппа группы порожденная бесконечно малым преобразованием

В группе вблизи тождественного преобразования всегда можно стр. 47) так ввести канонические параметры с базисом из бесконечно малых преобразований что если — любой достаточно малый векторный элемент группы то

С помощью этого обобщения формулы (32) можно получить следующее обобщение тождества (31):

где обозначает («групповое») произведение в группе О.

Теперь рассмотрим геодезическую кривизну подгруппы С при в метрике . В силу § 108, ее величина пропорциональна следующей величине:

так как при при всех к. Это — видоизмененный тензор Кристоффеля (13); согласно § 110, коэффициент пропорциональности подходящим выбором масштаба времени можно свести к единице. В конечном счете в действительности нас интересует не геодезическая кривизна, а величина так что вопрос о коэффициенте пропорциональности не должен нас занимать.

Вычислим теперь частные производные, входящие в последнюю из формул (39). Для этого заметим, что, по определению, бесконечно малый вектор с началом в эквивалентен при левом сдвиге бесконечно малому вектору с началом в тождественном преобразовании 0 тогда и только тогда, когда

Но правую часть выражения (40) с помощью разложения в ряд Шура — Кэмпбелла — Хаусдорфа можно представить в виде

где опущены члены, содержащие во второй степени. Поскольку эквивалентные бесконечно малые, отсюда следует соотношение

Теперь,записав, , получим, до определению, подобно формуле (36) следующее равенство:

Подставив его в векторное уравнение (41) и приравнивая соответствующие компоненты, получим основное соотношение

где отброшены члены со степенями выше первой.

Но, по определению риманового группового многообразия, инвариантно относительно левых переносов. Поэтому, в силу условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие равенства:

Лчптт

с точностью до членов выше первой степени относительно Переставляя «немые индексы» суммирования к в фигурных скобках, чтобы приравнять коэффициенты, получаем соотношение

Теперь, продифференцировав по и обозначив оба индекса суммирования через получим формулу

Далее, подставив формулу (43) в выражение (39), получим равенство

Кроме того, в силу известной антисимметрии получаем для структурных постоянных и Подставляя эти выражения в предыдущую формулу и сокращая на четыре, мы получаем окончательную формулу

Очевидно, что в случае стационарного движения вдоль оси соответствующая формула будет иметь вид

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии вдоль требуется внешняя сила (44). Другими словами, (суммирование по но не по есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы на группе Еслимы выберем нормальный ортогональный базис в метрике при 0, то эта кривизна будет равняться просто