§ 24. Течение Пуазейля

Уравнения Навье — Стокса, как и уравнения Эйлера во времена Лагранжа, удалось пока проинтегрировать лишь в нескольких случаях. Поэтому согласование с экспериментом в этих немногих случаях имеет принципиальное значение.

Одним из таких случаев является течение жидкости в длинной прямой трубе, поперечное сечение которой есть круг постоянного радиуса с. Пусть х обозначает расстояние, измеряемое вдоль трубы, расстояние от оси трубы. В этих цилиндрических координатах их, и пусть обозначают соответственно осевую, радиальную и трансверсальную составляющие скорости.

Теорема 3. Единственно возможными решениями системы (3), (4), (6), обладающими предполагаемой симметрией

(стационарные течения вязкой жидкости в круглой трубе), являются течения Пуазейля, определяемые формулами

Доказательство. Предположение о стационарности течения означает, что функция не зависит от времени Кроме того, условия задачи инвариантны относительно отражения в любой плоскости, проходящей через ось трубы; течение имеет эту симметрию тогда и только тогда, когда Согласно нашим условиям, должна быть также инвариантность относительно произвольного переноса вдоль оси трубы. А так как предполагается не зависящим от давления, то это же относится и к уравнениям (3) и (4). Симметрия относительно переноса эквивалентна соотношениям Из этих соотношений и из условия (6) следует, что откуда так как на оси

Теперь, полагая согласно теореме 1, мы используем уравнение (3). Поскольку имеем Рассматривая случай (с одной координатой х), получаем соотношение

Так как левая часть не зависит от то правая часть также не должна зависеть от Таким образом, для некоторого постоянного Это Дает конечное значение при только если следовательно, Для того чтобы удовлетворялось условие прилипания (6) на границе, должно быть что завершает доказательство теоремы.

Подставляя полученные выражения в уравнение (3), мы получаем классический результат, что градиент давления равен

где есть объем жидкости, протекающий за единицу времени через поперечное сечение трубы.