§ 94. Метод годографа

С помощью преобразований годографа можно значительно упростить уравнения сжимаемого невязкого течения. Мы уже видели [гл. I, уравнение (10)], что стационарные безвихревые плоские течения сжимаемой невязкой жидкости взаимно однозначно соответствуют потенциалам скоростей которые удовлетворяют нелинейному уравнению в частных производных:

Здесь индексы означают дифференцирование по соответствующим переменным, а есть местная скорость звука.

Напомним, что уравнение (56) эквивалентно одному из следующих линейных уравнений в частных производных: либо уравнению

либо уравнению

Здесь V — функция тока; — комплексный вектор скорости, так что однозначная функция

переменной согласно уравнению Бернулли, и зависимая переменная в лежандровом контактном преобразовании, посредством которого получено уравнение (576).

Теперь нетрудно получить уравнения (57а) и (576), исходя из уравнения (56) и только что указанных определений, но вовсе не ясно, почему нужно было использовать эти переменные годографы, чтобы получить линейные уравнения. Одним из мотивов могло быть то соображение, что метод годографа успешно применяется в задачах со свободными линиями тока (как в § 38). Сейчас мы приведем другую мотивировку, использующую три соображения из теории групп.

Первым из них является инвариантность законов динамики невязкой жидкости относительно группы (18) преобразований Ланжевена:

Оказывается, что уравнение в частных производных, выражающее эти законы, как правило, должно быть неоднородным (и поэтому нелинейным), если в качестве независимых переменных брать а в качестве зависимых переменных или ; но это уравнение будет однородным, если принять за независимые переменные а в качестве зависимых переменных или .

Нам остается не ясным почему это однородное уравнение должно быть линейным, когда в качестве зависимых переменных взяты V и .

Второе соображение из теории групп — очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно группы поворотов когда остаются фиксированными. Из этого следует, что в формулах (57а) и (576) величина должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты. Следовательно, мы имеем теоретико-групповое оправдание использования в качестве независимых переменных вместо Благодаря этому коэффициенты нашего дифференциального уравнения зависят только от одной из двух независимых переменных.

Третье теоретико-групповое соображение — это очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно

группы переноса когда остаются фиксированными (§ 67). Это эквивалентно тому, что х и у в уравнении (56) входят лишь в дифференциальные операторы и не содержатся в коэффициентах.