§ 116. Колебания с большой амплитудой
Хотя часы с маятником сейчас имеют куда меньше значения, чем в 1800 г., однако было выполнено много опытов с тем, чтобы проверить правильность формулы Стокса (49). Очевидно, что множитель присоединенной массы
и коэффициент затухания являются функциями как относительной амплитуды а, так и числа Стокса
. К сожалению, при свободном затухании величина а — переменная, и в большинстве опытов она не замерялась; по этой и по другим причинам значение многих опытов остается неясным.
Пожалуй, наиболее важными для случая больших амплитуд и малых
являются опыты Кейлегана и Карпентера с
цилиндрами и пластинками, помещенными в колеблющуюся жидкость, Полученные в этих опытах данные показывают любопытную зависимость присоединенной массы и затухания от относительной амплитуды, чего нет в формуле Стокса.
Пусть
обозначает зависящее от времени смещение, так что
есть период,
фаза и
максимальная скорость. Сила
измерялась как функция фазы; ввиду симметрии,
Обозначим диаметр тела
2 через
так что относительная амплитуда равна
Для измеренных значений функции
оказалась подходящей полуэмпирическая формула
В основе этой формулы лежит предположение, что сила
должна быть суммой силы лобового сопротивления
пропорциональной квадрату скорости, и инерциальной силы
пропорциональной ускорению. Если бы действительно было так, то
можно было бы вычислять по формулам
и
Эмпирически было найдено, что для данных, полученных при колебаниях с большой амплитудой, вполне справедлива формула (52), когда эмпирические постоянные Со и См определяются по формулам (53) и (53). Измеренные значения постоянных
зависят в первую очередь от относительной амплитуды
и сравнительно мало - от числа Стокса
. Графики измеренных значений
изображены на рис. 28.
Интересно сопоставить формулу (52) с формулой, которая получается при стоксовых приближениях для малой амплитуды, т. е. с формулой
где
теоретическая присоединенная масса, а масса вытесненной жидкости
объем (2). Для плоской пластинки, поставленной поперек течения, или для кругового цилиндра известно (17], стр. 85), что
Рис. 28. Присоединенная масса цилиндра (вверху) и пластинки (внизу).
В формулу (52) необходимо включить член то, так как препятствие удерживается неподвижным в колеблющейся жидкости; этого слагаемого не было бы, если бы препятствие колебалось в неподвижной жидкости. Эту разность можно вычислить, если учесть, что в системе жидкость постоянной плотности
и твердое тело при синусоидальных поступательных колебаниях всей системы на твердое тело
действует сила
Очевидно, что
не зависит от
Для сравнения были вычерчены также кривые значений
— для цилиндров и пластинок соответственно, — полученных
по линеаризованной теории Стокса. Очевидно, что формулы Стокса совершенно неприменимы к колебаниям с большой амплитудой.