§ 116. Колебания с большой амплитудой

Хотя часы с маятником сейчас имеют куда меньше значения, чем в 1800 г., однако было выполнено много опытов с тем, чтобы проверить правильность формулы Стокса (49). Очевидно, что множитель присоединенной массы и коэффициент затухания являются функциями как относительной амплитуды а, так и числа Стокса . К сожалению, при свободном затухании величина а — переменная, и в большинстве опытов она не замерялась; по этой и по другим причинам значение многих опытов остается неясным.

Пожалуй, наиболее важными для случая больших амплитуд и малых являются опыты Кейлегана и Карпентера с

цилиндрами и пластинками, помещенными в колеблющуюся жидкость, Полученные в этих опытах данные показывают любопытную зависимость присоединенной массы и затухания от относительной амплитуды, чего нет в формуле Стокса.

Пусть обозначает зависящее от времени смещение, так что есть период, фаза и максимальная скорость. Сила измерялась как функция фазы; ввиду симметрии, Обозначим диаметр тела

2 через так что относительная амплитуда равна

Для измеренных значений функции оказалась подходящей полуэмпирическая формула

В основе этой формулы лежит предположение, что сила должна быть суммой силы лобового сопротивления пропорциональной квадрату скорости, и инерциальной силы пропорциональной ускорению. Если бы действительно было так, то можно было бы вычислять по формулам

и

Эмпирически было найдено, что для данных, полученных при колебаниях с большой амплитудой, вполне справедлива формула (52), когда эмпирические постоянные Со и См определяются по формулам (53) и (53). Измеренные значения постоянных зависят в первую очередь от относительной амплитуды и сравнительно мало - от числа Стокса . Графики измеренных значений изображены на рис. 28.

Интересно сопоставить формулу (52) с формулой, которая получается при стоксовых приближениях для малой амплитуды, т. е. с формулой

где теоретическая присоединенная масса, а масса вытесненной жидкости объем (2). Для плоской пластинки, поставленной поперек течения, или для кругового цилиндра известно (17], стр. 85), что

Рис. 28. Присоединенная масса цилиндра (вверху) и пластинки (внизу).

В формулу (52) необходимо включить член то, так как препятствие удерживается неподвижным в колеблющейся жидкости; этого слагаемого не было бы, если бы препятствие колебалось в неподвижной жидкости. Эту разность можно вычислить, если учесть, что в системе жидкость постоянной плотности и твердое тело при синусоидальных поступательных колебаниях всей системы на твердое тело действует сила Очевидно, что не зависит от

Для сравнения были вычерчены также кривые значений — для цилиндров и пластинок соответственно, — полученных

по линеаризованной теории Стокса. Очевидно, что формулы Стокса совершенно неприменимы к колебаниям с большой амплитудой.