§ 84. Течения Прандтля — Мейера

В качестве еще одного примера применения метода «поиска симметричных решений» в задачах континуальной физики мы перейдем теперь к установившимся безвихревым течениям сжимаемых невязких жидкостей. Дифференциальные уравнения

таких течений инвариантны, как мы видели в § 73, относительно однопараметрической группы моделирования по числу Маха:

Следуя методу поиска симметричных решений, будем искать течения, инвариантные относительно группы (18); стационарные же течения будут инвариантны и относительно группы преобразований

при неизменности всех прочих переменных.

При рассмотрении течений, инвариантных относительно преобразований (18) и (180, удобно пользоваться полярными и сферическими координатами. Пусть соответствующие радиальная и трансверсальная составляющие скорости. Мы рассмотрим лишь случай т. е. случай отсутствия циркуляции в стационарном (безвихревом) плоском и осесимметричном течении.

Допущение инвариантности относительно преобразований (18) и (180 означает для таких течений, что нижеследующие величины зависят только от угловой переменной (дополнения широты)

Плоские течения, удовлетворяющие условиям (19), называются течениями Прандтля — Мейера; в § 92 мы дадим их обобщение (см. там рис. 26). Пространственные течения, удовлетворяющие условиям (19), называются осесимметричными коническими течениями.

Предположение об отсутствии вихрей равносильно условию для всех замкнутых кривых, откуда и мы получаем равенство

Так как течение безвихревое, то уравнения движения эквивалентны уравнению Бернулли, которое можно записать в виде

или как дифференциальное уравнение

При политропном уравнении состояния и так как то, следовательно, в этих условиях получаем уравнение

Все сказанное до сих пор справедливо и для конических течений.

Для течений Прандтля — Мейера уравнение неразрывности можно записать в виде

Использовав (19) и (20), мы получим уравнение

Умножая уравнение (22) на и вычитая полученное уравнение из равенства придем к результату

Соотношения (22) и (22), очевидно, эквивалентны уравнениям движения и неразрывности. Мы получаем, таким образом, два семейства решений.

Случай I. . Тогда, согласно уравнению (22), получаем откуда Чтобы получить мы используем формулы (19) и (20) и находим, что течение равномерное с постоянным вектором скорости.

Случай II. , или Мы видим, что радиусы являются характеристиками в том смысле, что перпендикулярная к ним составляющая скорости всегда равна скорости звука с. Это так называемые волны разрежения Прандтля-Мейера, они могут заполнять клиновидные области, плавно переходящие на границе в области равномерного течения. Мы часто видим такие области на фотографиях действительных течений; таким образом, предположение, что непосредственно подтверждается экспериментом.

В политропном случае, подставляя в уравнение (21, мы сразу получаем дифференциальное уравнение

Оно легко интегрируется в замкнутом виде, причем качественно характер решений в адиабатическом случае совершенно отличен от характера решений при при или при (круговое течение).

В общем (неполитропном) случае уравнение (22) и соотношение остаются справедливыми. В силу симметрии достаточно рассмотреть случай С помощью уравнения (21) мы получаем сначала а затем уравнение

которое интегрируется численно раздел 7.1). (Если то имеется особенность.) Следовательно, волны разрежения Прандтля-Мейера математически возможны для общего вида уравнения состояния.