Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 84. Течения Прандтля — МейераВ качестве еще одного примера применения метода «поиска симметричных решений» в задачах континуальной физики мы перейдем теперь к установившимся безвихревым течениям сжимаемых невязких жидкостей. Дифференциальные уравнения таких течений инвариантны, как мы видели в § 73, относительно однопараметрической группы моделирования по числу Маха:
Следуя методу поиска симметричных решений, будем искать течения, инвариантные относительно группы (18); стационарные же течения будут инвариантны и относительно группы преобразований
при неизменности всех прочих переменных. При рассмотрении течений, инвариантных относительно преобразований (18) и (180, удобно пользоваться полярными Допущение инвариантности относительно преобразований (18) и (180 означает для таких течений, что нижеследующие величины зависят только от угловой переменной (дополнения широты)
Плоские течения, удовлетворяющие условиям (19), называются течениями Прандтля — Мейера; в § 92 мы дадим их обобщение (см. там рис. 26). Пространственные течения, удовлетворяющие условиям (19), называются осесимметричными коническими течениями. Предположение об отсутствии вихрей равносильно условию
Так как течение безвихревое, то уравнения движения эквивалентны уравнению Бернулли, которое можно записать в виде
или как дифференциальное уравнение
При политропном уравнении состояния
Все сказанное до сих пор справедливо и для конических течений. Для течений Прандтля — Мейера уравнение неразрывности
Использовав (19) и (20), мы получим уравнение
Умножая уравнение (22) на
Соотношения (22) и (22), очевидно, эквивалентны уравнениям движения и неразрывности. Мы получаем, таким образом, два семейства решений. Случай I. Случай II. В политропном случае, подставляя
Оно легко интегрируется в замкнутом виде, причем качественно характер решений в адиабатическом случае В общем (неполитропном) случае уравнение (22) и соотношение
которое интегрируется численно
|
1 |
Оглавление
|