§ 48. Осесимметричные течения Гельмгольца

Впервые осесимметричные течения Гельмгольца были строго математически проанализированы в 1946 г., когда Левинсон дал строгое исследование асимптотических очертаний каверны. Предполагая, что для них удовлетворяется условие

Левинсон доказал, что и что

для некоторой постоянной С, при всех и при достаточно больших Если условие (27) усилить до вида то можно получить соотношения

и лобовое сопротивление можно выразить по формуле

Однако Левинсон не доказал, что такие каверны существуют.

Первое доказательство существования конечных осесимметричных каверн было дано в 1952 г. Гарабедяном, Шиффером и Леви [24]. Пользуясь принципом Рябушинского о том, что свободные линии тока экстремизируют присоединенную массу относительно вариаций, оставляющих постоянным объем каверны, а также пользуясь новым результатом о том, что «симметризация» уменьшает присоединенную массу, эти авторы доказали существование осесимметричных течений Гельмгольца «типа

Рябушинского» (рассмотренных в § 44) для профилей произвольного очертания (и для любого Существование же течений Гельмгольца с бесконечными осесимметричными кавернами не доказано детально, хотя показано, что это достаточно правдоподобно.

Единственность бесконечной осесимметричной каверны была доказана для препятствий с данной точкой отрыва Гильбаргом и Серрином. Доказательство основано на методе сравнения, впервые введенном М. А. Лаврентьевым.

Замечательным в указанных доказательствах является то, что в них используются существенно новые идеи. Это оказалось необходимым, так как аппарат конформных отображений, традиционно используемый в случае плоских течений, здесь уже не пригоден.

Любопытно также, что хотя существование и единственность плоских течений со свободными границами были доказаны более чем через 50 лет, после того как были построены первые нетривиальные примеры таких течений, мы до сих пор не знаем ни одного представляющего интерес аналитического («точного») осесимметричного течения Гельмгольца, и это несмотря на то, что мы располагаем теоремами существования и единственности.

Поэтому при анализе частных осесимметричных течений Гельмгольца приходится опираться на приближенные методы. Из применявшихся до сих пор методов наиболее остроумным является метод разложения по степеням числа подобия, разработанный Гарабедяном [25]. В то время как предыдущие авторы получили для коэффициента сжатия струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской пластинке, величину 0,61, вычисления Гарабедяна привели к результату 0,58.